Најважније из лекције
- Мерење дужи: Свакој тачки на правој може се придружити реалан број. Растојање (дужина) између две тачке рачуна се као апсолутна вредност разлике њихових координата: \(|AB| = |x_B - x_A|\).
- Растојање тачке од праве: Једнако је дужини нормале спуштене из те тачке на праву и представља најкраће растојање.
- Мерење углова: Углови се мере степенима у позитивном смеру. Свакој полуправој додељује се број од \(0\) до \(360\), а мера угла је разлика тих вредности.
- Апроксимација шестаром: Угао се може проценити преношењем тетиве дуж кружнице користећи формулу \(\approx \frac{360^\circ \cdot n}{m}\).
Мерење дужине дужи подразумева додељивање броја који описује њен однос са унапред изабраном јединицом мере. Поступак се заснива на надовезивању јединичне дужи.
Архимедова аксиома: За сваку дуж постоји коначно много надовезаних јединичних дужи којима се та дуж може „стићи и престићи”. Ово нам омогућава да проценимо приближну целобројну вредност сваке дужине.
Да бисмо прецизније мерили, јединицу мере делимо на мање делове (десете, стоте, итд.).
- Ако се поступак заврши, дужина је децималан број са коначно много децимала.
- Ако се поступак не заврши, добијамо бесконачан децималан запис који представља јединствени реалан број.
Постављањем лењира са подеоцима дуж праве успоставља се бијекција (обострано једнозначно пресликавање) између тачака праве и реалних бројева.
Растојање (дужина дужи):
\[ |AB| = |x_B - x_A| \]
где су \(x_A\) и \(x_B\) реални бројеви придружени тачкама \(A\) и \(B\).
Основне особине дужине:
- За јединичну дуж \(II\) важи: \(|II| = 1\).
- Дужи су подударне ако и само ако имају исте дужине: \(AB \cong CD \iff |AB| = |CD|\).
- Тачка \(B\) је између \(A\) и \(C\) (\(A - B - C\)) ако и само ако је \(|AB| + |BC| = |AC|\).
- За било које три неколинеарне тачке важи неједнакост троугла: \(|AC| < |AB| + |BC|\).
Растојање тачке од праве је дужина нормале спуштене из те тачке на праву. То је најкраће растојање од тачке до било које тачке на тој правој.
Ако се тачка \(A\) налази на координати \(x_A = 3.5\), а тачка \(B\) на координати \(x_B = 8.2\), њихово растојање је:
\[ |AB| = |8.2 - 3.5| = 4.7 \]
Основна јединица за мерење угла је степен (\(^\circ\)), што је 180 пута мањи угао од опруженог угла.
Углови се мере у позитивном смеру (супротно од казаљке на сату). Угломер успоставља бијекцију између полуправих са почетком у темену угла и бројева из интервала \([0, 360)\).
Мера угла:
\[ m(\angle aOb) = (\omega_b - \omega_a) \pmod{360} \]
где су \(\omega_a\) и \(\omega_b\) бројеви придружени крацима \(Oa\) и \(Ob\).
Теорема о мери угла:
- \(\angle aOb \cong \angle cOd \iff m(\angle aOb) = m(\angle cOd)\)
- \(\angle aOb + \angle bOc = \angle aOc \iff m(\angle aOb) + m(\angle bOc) = m(\angle aOc)\) (за надовезане углове).
Меру угла можемо приближно одредити конструисањем кружнице око темена и преношењем тетиве коју кракови угла одсецају на кружници, све док се не вратимо близу почетне тачке.
Приближна мера угла:
\[ m(\angle aOb) \approx \frac{360^\circ \cdot n}{m} \]
где је \(n\) број пута колико смо обишли круг, а \(m\) број пренетих тетива.
Ако смо отвором шестара пренели тетиву 6 пута и притом тачно једном обишли цео круг, колика је мера тог угла?
Број обилазака круга је \(n = 1\), а број пренетих тетива је \(m = 6\).
\[ m(\angle aOb) = \frac{360^\circ \cdot 1}{6} = 60^\circ \]
Ово је карактеристично за конструкцију угла од \(60^\circ\).
Задаци за вежбање
Лак: На бројевној правој дате су тачке \(P\) и \(Q\) којима су придружени реални бројеви \(x_P = -4\) и \(x_Q = 3\). Израчунај дужину дужи \(PQ\).
Користимо формулу за растојање две тачке: \(|PQ| = |x_Q - x_P|\).
\(|PQ| = |3 - (-4)| = |3 + 4| = |7| = 7\).
Одговор: Дужина дужи \(PQ\) је 7.
\(|PQ| = |3 - (-4)| = |3 + 4| = |7| = 7\).
Одговор: Дужина дужи \(PQ\) је 7.
Средњи: Тачка \(A\) се налази ван праве \(p\). Подножје нормале спуштене из тачке \(A\) на праву \(p\) је тачка \(N\), при чему је \(AN = 5 \text{ cm}\). Ако је \(M\) нека друга тачка на правој \(p\) (различита од \(N\)), да ли дужина дужи \(AM\) може бити \(4.5 \text{ cm}\)? Објасни.
Одговор: Не може.
Растојање између тачке и праве је дужина нормале спуштене из те тачке на праву, и то је најкраће могуће растојање од те тачке до било које тачке на правој. Пошто је \(AN = 5 \text{ cm}\), за сваку другу тачку \(M\) на правој \(p\) мора важити \(AM > AN\), односно \(AM > 5 \text{ cm}\).
Растојање између тачке и праве је дужина нормале спуштене из те тачке на праву, и то је најкраће могуће растојање од те тачке до било које тачке на правој. Пошто је \(AN = 5 \text{ cm}\), за сваку другу тачку \(M\) на правој \(p\) мора важити \(AM > AN\), односно \(AM > 5 \text{ cm}\).
Тежак: На кружном угломеру очитане су позиције три полуправе са заједничким почетком \(O\): краку \(Oa\) придружен је број \(45^\circ\), краку \(Ob\) придружен је број \(120^\circ\), а краку \(Oc\) број \(310^\circ\). Израчунај мере углова \(\angle aOb\) и \(\angle bOc\) у позитивном смеру.
Користимо формулу \(m(\angle) = (\text{крајња} - \text{почетна}) \pmod{360}\).
1. За \(\angle aOb\): \(120^\circ - 45^\circ = 75^\circ\).
2. За \(\angle bOc\): \(310^\circ - 120^\circ = 190^\circ\).
Одговор: Мера угла \(\angle aOb\) је \(75^\circ\), а мера угла \(\angle bOc\) је \(190^\circ\).
1. За \(\angle aOb\): \(120^\circ - 45^\circ = 75^\circ\).
2. За \(\angle bOc\): \(310^\circ - 120^\circ = 190^\circ\).
Одговор: Мера угла \(\angle aOb\) је \(75^\circ\), а мера угла \(\angle bOc\) је \(190^\circ\).
