Најважније из лекције
- Канонски облик: Полином уређен од највећег до најмањег степена. Степен (\( \text{deg} \)) одређује највећи изложилац.
- Степен операција: \( \text{deg}(P \cdot Q) = \text{deg}(P) + \text{deg}(Q) \).
- Дељење: Сваки полином се може записати као \( A = B \cdot Q + R \), где је степен остатка \( R \) стриктно мањи од степена делиоца \( B \).
- Безуова теорема: Остатак при дељењу \( P(x) \) са \( (x-a) \) је \( P(a) \). Број \( a \) је корен полинома ако је \( P(a) = 0 \).
Полиноми са једном променљивом су цели алгебарски изрази у којима се појављује само једна променљива.
Сваки полином \( P(x) \) се сређивањем може свести на канонски облик.
\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \]
Ако је \( a_n \neq 0 \) и \( n \geq 0 \), уводимо следеће појмове:
- Степен полинома је највећи изложилац \( n \). Означава се са \( \text{deg}(P) = n \).
- Водећи моном је члан са највећим степеном: \( a_n x^n \).
- Водећи коефицијент је број уз водећи моном: \( a_n \).
- Слободни члан је константа без променљиве: \( a_0 \).
Реални бројеви различити од нуле сматрају се полиномима нултог степена. Ако је \( P(x) = 0 \) (нулти полином), његов степен није дефинисан.
За полином \( P(x) = 3x^4 - 5x^3 + x^2 + 14x - 7 \):
Степен је \( 4 \), водећи моном је \( 3x^4 \), водећи коефицијент је \( 3 \), а слободни члан је \( -7 \).
Степен је \( 4 \), водећи моном је \( 3x^4 \), водећи коефицијент је \( 3 \), а слободни члан је \( -7 \).
Ако полиноми \( P(x) \) и \( Q(x) \) нису нулти полиноми:
1. Степен збира: \( \text{deg}(P + Q) \leq \max\{\text{deg}(P), \text{deg}(Q)\} \) (ако збир није нулти полином)
2. Степен производа: \( \text{deg}(P \cdot Q) = \text{deg}(P) + \text{deg}(Q) \)
1. Степен збира: \( \text{deg}(P + Q) \leq \max\{\text{deg}(P), \text{deg}(Q)\} \) (ако збир није нулти полином)
2. Степен производа: \( \text{deg}(P \cdot Q) = \text{deg}(P) + \text{deg}(Q) \)
Водећи коефицијент производа два полинома једнак је производу водећих коефицијената тих полинома.
Вредност полинома за одређене бројеве даје корисне информације:
- \( P(0) \) је увек једнако слободном члану.
- \( P(1) \) је увек једнако збиру свих коефицијената полинома.
Теорема о еквивалентности: Два полинома су еквивалентна ако и само ако имају једнаке канонске облике (једнаке одговарајуће коефицијенте).
Дат је полином \( P(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 8 \). Одредите \( P(0) \) и \( P(1) \) без директног рачунања свих степена.
\( P(0) \) је слободни члан, па је \( P(0) = -8 \).
\( P(1) \) је збир коефицијената: \( P(1) = 4 + (-2) + 5 + (-8) = -1 \).
\( P(1) \) је збир коефицијената: \( P(1) = 4 + (-2) + 5 + (-8) = -1 \).
Полином \( A \) је дељив полиномом \( B \) (\( B \neq 0 \)) ако постоји полином \( Q \) такав да је \( A = B \cdot Q \). Полином \( Q \) је количник.
За свака два полинома \( A \) и \( B \) (\( B \neq 0 \)), постоје јединствени полиноми \( Q \) (количник) и \( R \) (остатак) такви да важи:
\[ A = B \cdot Q + R \]
где је \( R = 0 \) или је \( \text{deg}(R) < \text{deg}(B) \).
Ако је \( \text{deg}(A) \geq \text{deg}(B) \), дељење се врши поступком аналогним дељењу вишецифрених бројева: дели се водећи моном дељеника водећим мономом делиоца, добијени члан множи са делиоцем и одузима од дељеника.
Безуова теорема: Остатак при дељењу полинома \( P(x) \) биномом \( x - a \) једнак је вредности полинома у тачки \( a \), односно \( P(a) \).
Специјално, полином \( P(x) \) је дељив са \( x - a \) (без остатка) ако и само ако је \( P(a) = 0 \).
Сваки број \( a \) такав да је \( P(a) = 0 \) назива се корен полинома \( P \).
Колики је остатак при дељењу полинома \( P(x) = x^4 - 3x^2 + x - 5 \) полиномом \( x - 2 \)?
Према Безуовој теореми, остатак при дељењу са \( x - 2 \) је вредност \( P(2) \).
\( P(2) = 2^4 - 3 \cdot 2^2 + 2 - 5 = 16 - 12 + 2 - 5 = 1 \).
Остатак је \( 1 \).
\( P(2) = 2^4 - 3 \cdot 2^2 + 2 - 5 = 16 - 12 + 2 - 5 = 1 \).
Остатак је \( 1 \).
Задаци за вежбање
Лак: За полином \( P(x) = -7x^5 + 2x^3 - x + 9 \) одреди: степен, водећи коефицијент и слободни члан.
- Степен полинома је највећи изложилац променљиве: \( \text{deg}(P) = 5 \).
- Водећи коефицијент је број уз највећи степен: \( -7 \).
- Слободни члан је број без променљиве: \( 9 \).
Средњи: Ако је \( P(x) = 2x^3 - x^2 + 3 \) и \( Q(x) = x^2 - 4x + 1 \), колики је степен полинома \( P \cdot Q \), а колики полинома \( P + Q \)?
\( \text{deg}(P) = 3 \) и \( \text{deg}(Q) = 2 \).
Степен производа је збир степена: \( \text{deg}(P \cdot Q) = 3 + 2 = 5 \).
Степен збира је највећи од та два степена: \( \text{deg}(P + Q) = \max\{3, 2\} = 3 \).
Степен производа је збир степена: \( \text{deg}(P \cdot Q) = 3 + 2 = 5 \).
Степен збира је највећи од та два степена: \( \text{deg}(P + Q) = \max\{3, 2\} = 3 \).
Тежак: Одреди реалан број \( a \) тако да полином \( P(x) = x^3 - ax^2 + 5x - 6 \) буде дељив биномом \( x - 3 \).
Да би полином био дељив са \( x - 3 \), према Безуовој теореми, остатак мора бити нула, односно \( P(3) = 0 \).
Замењујемо \( x = 3 \) у полином:
\( P(3) = 3^3 - a \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 - 6 = 0 \)
\( 27 - 9a + 15 - 6 = 0 \)
\( 36 - 9a = 0 \)
\( 9a = 36 \)
\( a = 4 \)
Тражени број је \( a = 4 \).
Замењујемо \( x = 3 \) у полином:
\( P(3) = 3^3 - a \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 - 6 = 0 \)
\( 27 - 9a + 15 - 6 = 0 \)
\( 36 - 9a = 0 \)
\( 9a = 36 \)
\( a = 4 \)
Тражени број је \( a = 4 \).
