1. Наведи једноставне конструкције од којих се састоји конструкција у претходном примеру. 2. Наведи све теореме на које се ослања доказ коректности конструкције из претходног примера.

1. Једноставне конструкције које чине дату конструкцију У Примеру 1 конструише се троугао $ \triangle ABC $ када су дати збир страница $ AB + AC = d $ и углови $ \alpha $ и $ \beta $. Конструкција се састоји из следећих једноставних (основних) конструкција: 1. Конструкција симетрале угла – коришћена за конструисање половине угла $ \alpha $, односно угла величине $ \frac{\alpha}{2} $. 2. Конструкција троугла према ставу УСУ – помоћу које се конструише помоћни троугао \( \triangle DBC...

Геометријске Конструкције

Најважније из лекције

Алати: За конструкције се користе искључиво шестар и лењир.
Конструкција троуглова: Темељи се на четири става подударности: ССС (неједнакост троугла), СУС, УСУ и ССУ (угао мора бити наспрам веће странице).
Етапе задатка: Сваки сложенији конструктивни задатак има четири фазе: Анализа (скица и идеја), Конструкција (извођење), Доказ (потврда тачности) и Дискусија (број решења и услови).
Кружница и углови: Периферијски угао над пречником је увек прав ($ 90^\circ $), што је кључно за конструисање тангенти из спољашње тачке. Угао између тангенте и тетиве једнак је периферијском углу над том тетивом.

Геометријске конструкције се изводе искључиво употребом само једног лењира и шестара.

Једноставне конструкције које су основа за све сложеније задатке обухватају:

Преношење дужи и углова.
Конструкцију симетрале дужи (и њеног средишта) и симетрале угла.
Конструкцију нормале на праву из дате тачке.

Конструкција паралелне праве: Да би се конструисала права кроз дату тачку која је паралелна датој правој, најпре се конструише нормала на дату праву из дате тачке, а затим нормала из исте тачке на управо конструисану праву.

Илустрација конструкције паралелне праве. Прикажи хоризонталну праву $p_1$. Постави тачку $A$ изнад праве $p_1$. Конструиши прву праву $n_1$ која пролази кроз тачку $A$ и нормална је на праву $p_1$. Означи тачку пресека праве $n_1$ и праве $p_1$ као $B$. Јасно обележи прав угао (90 степени) на тачки $B$ између праве $p_1$ и праве $n_1$. Затим, конструиши другу праву $p_2$ која пролази кроз исту тачку $A$ и нормална је на праву $n_1$. Јасно обележи прав угао (90 степени) на тачки $A$ између праве $n_1$ и праве $p_2$. Финална права $p_2$ треба да буде паралелна почетној правој $p_1$, што треба визуелно истаћи.

Конструкција троугла се своди на коришћење података који одговарају једном од четири става подударности.

(ССС) Дате су три дужи: $ a $, $ b $ и $ c $. Услов за конструкцију је неједнакост троугла: свака страница мора бити мања од збира преостале две ($ a < b + c $, $ b < c + a $, $ c < a + b $).

(СУС) Дате су две дужи ($ a $ и $ b $) и угао захваћен њима ($ \gamma $). Угао мора бити мањи од опруженог угла ($ \gamma < 180^\circ $).

(УСУ) Дата је једна дуж ($ a $) и два належаћа угла ($ \beta $ и $ \gamma $). Збир датих углова мора бити мањи од опруженог угла ($ \beta + \gamma < 180^\circ $).

(ССУ) Дате су две дужи ($ a $ и $ b $) при чему је $ a > b $, и угао ($ \alpha $) наспрам веће странице. Угао мора бити мањи од опруженог угла.

Решавање сложенијег конструктивног задатка састоји се из четири обавезне етапе:

Претпоставља се да је задатак решен. Црта се скица и трага се за везама између датих података и тражене фигуре како би се проблем свео на познате, једноставне конструкције.

Поступак којим се, лењиром и шестаром, корак по корак конструише тражена фигура на основу редоследа утврђеног у анализи.

Потврђивање (доказивање) да конструисана фигура заиста поседује све особине и задовољава све услове постављене у задатку.

Утврђивање услова под којима је задатак уопште могуће решити, као и одређивање броја међусобно неподударних решења (фигура) која задовољавају те услове.

Сви периферијски углови над пречником (полукружницом) су прави ($ 90^\circ $). Ово се често користи за конструкцију правог угла или тангенте из спољашње тачке.

Угао између тангенте и тетиве која садржи тачку додира једнак је одговарајућем периферијском углу над луком одређеним том тетивом.

Видни угао: Нека је дата дуж $ AB $ и тачка $ P $ ван ње. Ако је $ \angle APB = \varphi $, кажемо да се из тачке $ P $ дуж $ AB $ види под углом $ \varphi $.

Проблем поделе произвољног угла на три једнака дела (трисекција) немогуће је решити коришћењем искључиво лењира и шестара (нпр. немогуће је конструисати угао од $ 20^\circ $ делећи угао од $ 60^\circ $).

$Геометријска скица приказује конструкцију две тангенте из спољашње тачке $A$ на дату кружницу $k$ са центром $O$ и полупречником $r$. У центру цртежа је кружница $k$ са означеним центром $O$. Изван кружнице $k$ налази се тачка $A$. Повезане су тачке $O$ и $A$ правом дужином $OA$. На дужи $OA$ је означено њено средиште $S$. Нацртана је помоћна кружница $k'$ са центром $S$ и пречником $OA$. Ова помоћна кружница $k'$ пресеца оригиналну кружницу $k$ у две тачке. Ове пресечне тачке су додирне тачке $T_1$ и $T_2$. Праве линије $AT_1$ и $AT_2$ су конструисане тангенте на кружницу $k$. Полупречници $OT_1$ и $OT_2$ кружнице $k$ су повучени до додирних тачака $T_1$ и $T_2$. Углови $\angle OT_1A$ и $\angle OT_2A$ су прави углови ($90^\circ$), што означава да су полупречници нормални на тангенте у додирним тачкама.$

Задаци за вежбање

Лак: Који алати су једини дозвољени приликом извођења строгих геометријских конструкција и да ли је помоћу њих могуће конструисати угао од $ 20^\circ $?

Дозвољени алати су искључиво један лењир (без ознака за мерење) и шестар. Помоћу њих није могуће извршити трисекцију угла од $ 60^\circ $, те је немогуће конструисати угао од $ 20^\circ $.

Средњи: Дати су следећи подаци за конструкцију троугла: $ a = 5 \text{ cm} $, $ b = 8 \text{ cm} $ и угао наспрам странице $ b $ је $ \beta = 45^\circ $. По ком ставу подударности се може конструисати овај троугао?

Овај троугао се конструише на основу става ССУ (страница-страница-угао). Дате су две странице ($ a $ и $ b $) и угао наспрам једне од њих. Пошто је $ b > a $ ($ 8 > 5 $) и угао $ \beta $ се налази наспрам веће странице, конструкција је једнозначно одређена.

Тежак: Опиши етапу "Конструкција" за задатак: Из тачке $ A $, која се налази ван дате кружнице $ k $ (са центром $ O $), конструиши тангенте на ту кружницу. На коју се теорему ослања ова конструкција?

Поступак конструкције:
1. Спојимо тачке $ O $ и $ A $ дужи $ OA $.
2. Конструишемо симетралу дужи $ OA $ како бисмо нашли њено средиште $ S $.
3. Из центра $ S $, полупречником $ SO $ (или $ SA $), опишемо кружницу.
4. Пресечне тачке ове нове кружнице и дате кружнице $ k $ означимо са $ T_1 $ и $ T_2 $.
5. Праве одређене тачкама $ A $ и $ T_1 $, односно $ A $ и $ T_2 $, су тражене тангенте.
Теорема: Конструкција се ослања на теорему да су сви периферијски углови над пречником (у овом случају над пречником $ OA $) прави углови, што значи да су углови $ \angle OT_1A $ и $ \angle OT_2A $ прави ($ 90^\circ $), што је услов да би права била тангента на кружницу.

36. Геометријске Конструкције

Изабери решење задатка:

1.

2.

1.

Једноставне конструкције које чине дату конструкцију

2.

Теореме на које се ослања доказ коректности конструкције

Кратак запис решења:

1.

2.

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

1.

2.

Детаљно решење

1.

Једноставне конструкције које чине дату конструкцију

2.

Теореме на које се ослања доказ коректности конструкције

Кратак запис решења:

1.

2.

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

Географија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: