Најважније из лекције
Основни односи: За угао \(\alpha\), наспрамну катету \(a\), налеглу катету \(b\) и хипотенузу \(c\):
\(\sin \alpha = \frac{a}{c}\), \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\), \(\text{tg } \alpha = \frac{a}{b}\), \(\text{ctg } \alpha = \frac{b}{a}\).
Вредности: \(0 < \sin \alpha < 1\) и \(0 < \cos \alpha < 1\), док \(\text{tg } \alpha\) и \(\text{ctg } \alpha\) могу бити било који позитивни бројеви.
Правило раста: Када се угао \(\alpha\) повећава, вредности синуса и тангенса расту, док вредности косинуса и котангенса опадају.
\(\sin \alpha = \frac{a}{c}\), \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\), \(\text{tg } \alpha = \frac{a}{b}\), \(\text{ctg } \alpha = \frac{b}{a}\).
Вредности: \(0 < \sin \alpha < 1\) и \(0 < \cos \alpha < 1\), док \(\text{tg } \alpha\) и \(\text{ctg } \alpha\) могу бити било који позитивни бројеви.
Правило раста: Када се угао \(\alpha\) повећава, вредности синуса и тангенса расту, док вредности косинуса и котангенса опадају.
Основа за дефинисање тригонометријских функција лежи у чињеници да су сви правоугли троуглови који имају један исти оштар угао \(\alpha\) међусобно слични (на основу другог става сличности).
Ако је \(\alpha\) неки оштар угао, тада за сваки правоугли троугао чији је један оштар угао \(\alpha\), размера било које две странице тог троугла јесте константна (стална) вредност, независно од величине самог троугла.
Тригонометријске функције оштрог угла представљају размере страница у правоуглом троуглу. Вредност ових функција зависи искључиво од величине угла.
Тангенс угла \(\alpha\) (\(\text{tg } \alpha\)): Размера наспрамне и налегле катете.
\[ \text{tg } \alpha = \frac{a}{b} \]
Котангенс угла \(\alpha\) (\(\text{ctg } \alpha\)): Размера налегле и наспрамне катете.
\[ \text{ctg } \alpha = \frac{b}{a} \]
Синус угла \(\alpha\) (\(\sin \alpha\)): Размера наспрамне катете и хипотенузе.
\[ \sin \alpha = \frac{a}{c} \]
Косинус угла \(\alpha\) (\(\cos \alpha\)): Размера налегле катете и хипотенузе.
\[ \cos \alpha = \frac{b}{c} \]
Одредимо катету \(a\) правоуглог троугла ако је хипотенуза \(c = 10 \text{ cm}\) и \(\sin \alpha = 0,6\).
Како је \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\), заменом добијамо:
\(0,6 = \frac{a}{10}\)
\(a = 0,6 \cdot 10 = 6 \text{ cm}\).
Како је \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\), заменом добијамо:
\(0,6 = \frac{a}{10}\)
\(a = 0,6 \cdot 10 = 6 \text{ cm}\).
За сваки оштар угао \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)) важи:
- Синус и косинус су увек позитивни бројеви мањи од 1, јер је катета увек краћа од хипотенузе: \[ 0 < \sin \alpha < 1 \quad \text{и} \quad 0 < \cos \alpha < 1 \]
- Тангенс и котангенс могу бити било који позитивни реални бројеви: \[ 0 < \text{tg } \alpha < +\infty \quad \text{и} \quad 0 < \text{ctg } \alpha < +\infty \]
Промена вредности функција са повећањем угла:
Ако угао \(\alpha\) расте (повећава се од \(0^\circ\) ка \(90^\circ\)):
Ако угао \(\alpha\) расте (повећава се од \(0^\circ\) ка \(90^\circ\)):
- Вредности синуса (\(\sin \alpha\)) и тангенса (\(\text{tg } \alpha\)) се повећавају.
- Вредности косинуса (\(\cos \alpha\)) и котангенса (\(\text{ctg } \alpha\)) се смањују.
Задаци за вежбање
Лак: У правоуглом троуглу дате су катете \(a = 3 \text{ cm}\), \(b = 4 \text{ cm}\) и хипотенуза \(c = 5 \text{ cm}\). Израчунај \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\), где је \(\alpha\) угао наспрам катете \(a\).
Користимо дефиниције:
\(\sin \alpha = \frac{\text{наспрамна катета}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{3}{5} = 0,6\)
\(\cos \alpha = \frac{\text{налегла катета}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{4}{5} = 0,8\)
\(\sin \alpha = \frac{\text{наспрамна катета}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{3}{5} = 0,6\)
\(\cos \alpha = \frac{\text{налегла катета}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{4}{5} = 0,8\)
Средњи: У правоуглом троуглу познато је да је \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\) и да је хипотенуза \(c = 15 \text{ cm}\). Израчунај дужину налегле катете \(b\).
Из дефиниције косинуса знамо да је \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\).
Заменом познатих вредности добијамо:
\(\frac{2}{3} = \frac{b}{15}\)
\(b = \frac{2}{3} \cdot 15 = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm}\).
Одговор: Налегла катета је \(10 \text{ cm}\).
Заменом познатих вредности добијамо:
\(\frac{2}{3} = \frac{b}{15}\)
\(b = \frac{2}{3} \cdot 15 = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm}\).
Одговор: Налегла катета је \(10 \text{ cm}\).
Тежак: За оштар угао \(\alpha\) у правоуглом троуглу важи да је \(\text{tg } \alpha = \frac{5}{12}\). Ако је налегла катета \(b = 24 \text{ cm}\), одреди дужину хипотенузе \(c\).
Израчунавање наспрамне катете \(a\) преко тангенса:
\(\text{tg } \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{5}{12} = \frac{a}{24}\)
\(a = \frac{5}{12} \cdot 24 = 5 \cdot 2 = 10 \text{ cm}\).
\(\text{tg } \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{5}{12} = \frac{a}{24}\)
\(a = \frac{5}{12} \cdot 24 = 5 \cdot 2 = 10 \text{ cm}\).
Коришћење Питагорине теореме за рачунање хипотенузе \(c\):
\(c^2 = a^2 + b^2\)
\(c^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\)
\(c = \sqrt{676} = 26 \text{ cm}\).
Одговор: Хипотенуза је \(26 \text{ cm}\).
\(c^2 = a^2 + b^2\)
\(c^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\)
\(c = \sqrt{676} = 26 \text{ cm}\).
