Поређај по величини оштре углове $ \alpha_1 $, $ \alpha_2 $, $ \alpha_3 $, ако је: 1) $ \cos \alpha_2 < \cos \alpha_3 < \cos \alpha_1 $; 2) $ \operatorname{tg} \alpha_3 < \operatorname{tg} \alpha_1 < \operatorname{tg} \alpha_2 $.

Да бисмо поређали оштре углове по величини, потребно је да знамо како се мењају вредности тригонометријских функција (косинуса и тангенса) када се угао повећава од $ 0^\circ $ до $ 90^\circ $. 1) $ \cos \alpha_2 < \cos \alpha_3 < \cos \alpha_1 $ Својство функције косинус За оштре углове, вредност косинуса се смањује како се угао повећава. То значи да већем углу одговара мања вредност косинуса, и обрнуто (функција је опадајућа). Поређење углова Полазимо од дате неједнакости: \[ \cos \alph...

Тригонометријске Функције Оштрих Углова

Најважније из лекције

Основни односи: За угао $\alpha$, наспрамну катету $a$, налеглу катету $b$ и хипотенузу $c$:
$\sin \alpha = \frac{a}{c}$, $\cos \alpha = \frac{b}{c}$, $\text{tg } \alpha = \frac{a}{b}$, $\text{ctg } \alpha = \frac{b}{a}$.
Вредности: $0 < \sin \alpha < 1$ и $0 < \cos \alpha < 1$, док $\text{tg } \alpha$ и $\text{ctg } \alpha$ могу бити било који позитивни бројеви.
Правило раста: Када се угао $\alpha$ повећава, вредности синуса и тангенса расту, док вредности косинуса и котангенса опадају.

Основа за дефинисање тригонометријских функција лежи у чињеници да су сви правоугли троуглови који имају један исти оштар угао $\alpha$ међусобно слични (на основу другог става сличности).

Ако је $\alpha$ неки оштар угао, тада за сваки правоугли троугао чији је један оштар угао $\alpha$, размера било које две странице тог троугла јесте константна (стална) вредност, независно од величине самог троугла.

Тригонометријске функције оштрог угла представљају размере страница у правоуглом троуглу. Вредност ових функција зависи искључиво од величине угла.

$Нацртати правоугли троугао са теменима П, К и Р. Теме П је доле лево, теме К доле десно, а теме Р горе десно. Угао код темена К је прави угао и треба га означити квадратним симболом. Оштар угао $\alpha$ је означен у темену П. Страница КР, која је наспрамна углу $\alpha$, означена је као наспрамна катета $a$. Страница ПК, која је налегла углу $\alpha$, означена је као налегла катета $b$. Страница ПР, која је хипотенуза, означена је као хипотенуза $c$. Ознаке страница $a$, $b$ и $c$ поставити на средину одговарајућих страница. Ознаку угла $\alpha$ поставити унутар угла код темена П.$

Тангенс угла $\alpha$ ($\text{tg } \alpha$): Размера наспрамне и налегле катете. \[ \text{tg } \alpha = \frac{a}{b} \]

Котангенс угла $\alpha$ ($\text{ctg } \alpha$): Размера налегле и наспрамне катете. \[ \text{ctg } \alpha = \frac{b}{a} \]

Синус угла $\alpha$ ($\sin \alpha$): Размера наспрамне катете и хипотенузе. \[ \sin \alpha = \frac{a}{c} \]

Косинус угла $\alpha$ ($\cos \alpha$): Размера налегле катете и хипотенузе. \[ \cos \alpha = \frac{b}{c} \]

Одредимо катету $a$ правоуглог троугла ако је хипотенуза $c = 10 \text{ cm}$ и $\sin \alpha = 0,6$.
Како је $\sin \alpha = \frac{a}{c}$, заменом добијамо:
$0,6 = \frac{a}{10}$
$a = 0,6 \cdot 10 = 6 \text{ cm}$.

За сваки оштар угао $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) важи:

Синус и косинус су увек позитивни бројеви мањи од 1, јер је катета увек краћа од хипотенузе: \[ 0 < \sin \alpha < 1 \quad \text{и} \quad 0 < \cos \alpha < 1 \]
Тангенс и котангенс могу бити било који позитивни реални бројеви: \[ 0 < \text{tg } \alpha < +\infty \quad \text{и} \quad 0 < \text{ctg } \alpha < +\infty \]

Промена вредности функција са повећањем угла:
Ако угао $\alpha$ расте (повећава се од $0^\circ$ ка $90^\circ$):

Вредности синуса ($\sin \alpha$) и тангенса ($\text{tg } \alpha$) се повећавају.
Вредности косинуса ($\cos \alpha$) и котангенса ($\text{ctg } \alpha$) се смањују.

Задаци за вежбање

Лак: У правоуглом троуглу дате су катете $a = 3 \text{ cm}$, $b = 4 \text{ cm}$ и хипотенуза $c = 5 \text{ cm}$. Израчунај $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$, где је $\alpha$ угао наспрам катете $a$.

Користимо дефиниције:
$\sin \alpha = \frac{\text{наспрамна катета}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{3}{5} = 0,6$
$\cos \alpha = \frac{\text{налегла катета}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{4}{5} = 0,8$

Средњи: У правоуглом троуглу познато је да је $\cos \alpha = \frac{2}{3}$ и да је хипотенуза $c = 15 \text{ cm}$. Израчунај дужину налегле катете $b$.

Из дефиниције косинуса знамо да је $\cos \alpha = \frac{b}{c}$.
Заменом познатих вредности добијамо:
$\frac{2}{3} = \frac{b}{15}$
$b = \frac{2}{3} \cdot 15 = 2 \cdot 5 = 10 \text{ cm}$.
Одговор: Налегла катета је $10 \text{ cm}$.

Тежак: За оштар угао $\alpha$ у правоуглом троуглу важи да је $\text{tg } \alpha = \frac{5}{12}$. Ако је налегла катета $b = 24 \text{ cm}$, одреди дужину хипотенузе $c$.

Израчунавање наспрамне катете $a$ преко тангенса:
$\text{tg } \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{5}{12} = \frac{a}{24}$
$a = \frac{5}{12} \cdot 24 = 5 \cdot 2 = 10 \text{ cm}$.

Коришћење Питагорине теореме за рачунање хипотенузе $c$:
$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$
$c = \sqrt{676} = 26 \text{ cm}$.

Одговор: Хипотенуза је $26 \text{ cm}$.

59. Тригонометријске Функције Оштрих Углова

Изабери решење задатка:

1)

2)

1) \( \cos \alpha_2 < \cos \alpha_3 < \cos \alpha_1 \)

Својство функције косинус

Поређење углова

2) \( \operatorname{tg} \alpha_3 < \operatorname{tg} \alpha_1 < \operatorname{tg} \alpha_2 \)

Својство функције тангенс

Поређење углова

Кратак запис решења:

1)

2)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

1)

2)

Детаљно решење

1) \( \cos \alpha_2 < \cos \alpha_3 < \cos \alpha_1 \)

Својство функције косинус

Поређење углова

2) \( \operatorname{tg} \alpha_3 < \operatorname{tg} \alpha_1 < \operatorname{tg} \alpha_2 \)

Својство функције тангенс

Поређење углова

Кратак запис решења:

1)

2)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: