Најважније из лекције
Кључ за одређивање НЗД и НЗС полинома је правилно растављање на чиниоце.
- НЗД (Највећи заједнички делилац): Садржи само чиниоце који су заједнички за све полиноме, и то са најмањим степеном у ком се појављују.
- НЗС (Најмањи заједнички садржалац): Садржи све различите чиниоце који се појављују у полиномима, и то са највећим степеном.
- Ако полиноми немају заједничких чинилаца, њихов НЗД је \( 1 \), а НЗС је њихов производ.
Пре увођења појмова НЗД и НЗС, важно је разумети основна својства дељивости полинома:
Ако је полином \( A(x) \) дељив полиномом \( D(x) \), онда је \( A(x) \) дељив и полиномима \( a \cdot D(x) \), за произвољан реалан број \( a \) различит од нуле.
Ако је \( A(x) \) полином степена \( n > 1 \), једини делиоци тог полинома који су такође степена \( n \) јесу полиноми облика \( a \cdot A(x) \), где је \( a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \).
Заједнички делилац: Полином \( D \) је заједнички делилац полинома \( A \) и \( B \) ако су оба полинома (\( A \) и \( B \)) дељива са \( D \).
Заједнички садржалац: Полином \( S \) је заједнички садржалац полинома \( A \) и \( B \) ако је \( S \) дељив и са \( A \) и са \( B \).
Ако имамо полиноме \( A(x) = x^3 - x \) и \( B(x) = x^4 - 1 \):
Њихов заједнички делилац може бити \( D(x) = x^2 - 1 \) јер: \[ x^3 - x = (x^2 - 1) \cdot x \] \[ x^4 - 1 = (x^2 - 1) \cdot (x^2 + 1) \] Такође, заједнички делиоци су и сви делиоци полинома \( x^2 - 1 \), односно \( x - 1 \) и \( x + 1 \).
Њихов заједнички делилац може бити \( D(x) = x^2 - 1 \) јер: \[ x^3 - x = (x^2 - 1) \cdot x \] \[ x^4 - 1 = (x^2 - 1) \cdot (x^2 + 1) \] Такође, заједнички делиоци су и сви делиоци полинома \( x^2 - 1 \), односно \( x - 1 \) и \( x + 1 \).
Нека су \( A(x) \) и \( B(x) \) полиноми који нису нулти.
НЗД: Највећи заједнички делилац полинома \( A(x) \) и \( B(x) \) је сваки полином који је дељив свим осталим делиоцима полинома \( A(x) \) и \( B(x) \). Означава се са \( \text{НЗД}(A(x), B(x)) \).
НЗС: Најмањи заједнички садржалац полинома \( A(x) \) и \( B(x) \) је сваки полином који је дељив полиномима \( A(x) \) и \( B(x) \) и дели сваки други садржалац ова два полинома. Означава се са \( \text{НЗС}(A(x), B(x)) \).
Иако за НЗД можемо узети било који делилац максималног степена помножен константом, уобичајено је да се за НЗД и НЗС узимају они полиноми чији је водећи коефицијент једнак јединици.
Производ два полинома је дељив њиховим највећим заједничким делиоцем, а количник та два израза представља најмањи заједнички садржалац:
\[ A(x) \cdot B(x) = \text{НЗД}(A(x), B(x)) \cdot \text{НЗС}(A(x), B(x)) \]
Растављање на чиниоце: Сваки од датих полинома раставите на просте чиниоце (који се даље не могу растављати).
Одређивање НЗД: Множе се сви заједнички чиниоци узети са најмањим изложиоцем (степеном).
Одређивање НЗС: Множе се сви чиниоци који се појављују, узети са највећим изложиоцем (степеном).
Одредимо НЗД и НЗС за \( A(x) = x^2 + x \) и \( B(x) = x^2 - 1 \):
1. Растављање: \( A(x) = x(x + 1) \) \( B(x) = (x - 1)(x + 1) \)
2. Заједнички чинилац је \( (x + 1) \). Дакле, \( \text{НЗД}(A(x), B(x)) = x + 1 \).
3. Сви чиниоци који се појављују су \( x \), \( (x - 1) \) и \( (x + 1) \). Дакле, \( \text{НЗС}(A(x), B(x)) = x(x - 1)(x + 1) \).
1. Растављање: \( A(x) = x(x + 1) \) \( B(x) = (x - 1)(x + 1) \)
2. Заједнички чинилац је \( (x + 1) \). Дакле, \( \text{НЗД}(A(x), B(x)) = x + 1 \).
3. Сви чиниоци који се појављују су \( x \), \( (x - 1) \) и \( (x + 1) \). Дакле, \( \text{НЗС}(A(x), B(x)) = x(x - 1)(x + 1) \).
Задаци за вежбање
Лак задатак: Одредите НЗД и НЗС за већ растављене полиноме \( A(x) = x^2(x - 3) \) и \( B(x) = x(x - 3)^2 \).
За НЗД узимамо заједничке чиниоце са најмањим степеном:
\[ \text{НЗД}(A, B) = x(x - 3) \]
За НЗС узимамо све чиниоце са највећим степеном:
\[ \text{НЗС}(A, B) = x^2(x - 3)^2 \]
Средњи задатак: Одредите НЗД и НЗС за полиноме \( A(x) = x^2 - 4 \) и \( B(x) = x^2 + 2x \).
Прво растављамо полиноме на чиниоце:
\[ A(x) = (x - 2)(x + 2) \quad \text{(разлика квадрата)} \]
\[ B(x) = x(x + 2) \quad \text{(издвајање заједничког чиниоца)} \]
Заједнички чинилац је \( (x + 2) \):
\[ \text{НЗД}(A(x), B(x)) = x + 2 \]
Сви чиниоци који се појављују су \( x \), \( (x - 2) \) и \( (x + 2) \):
\[ \text{НЗС}(A(x), B(x)) = x(x - 2)(x + 2) \]
Тежак задатак: Одредите НЗД и НЗС за полиноме \( A(x) = x^4 - x^2 \) и \( B(x) = x^3 - 2x^2 + x \).
Растављамо полиноме на просте чиниоце:
\[ A(x) = x^2(x^2 - 1) = x^2(x - 1)(x + 1) \]
\[ B(x) = x(x^2 - 2x + 1) = x(x - 1)^2 \]
НЗД: Тражимо заједничке чиниоце са најмањим степеном. То су \( x \) и \( (x - 1) \). \[ \text{НЗД}(A(x), B(x)) = x(x - 1) \]
НЗС: Тражимо све чиниоце са највећим степеном. То су \( x^2 \), \( (x - 1)^2 \) и \( (x + 1) \). \[ \text{НЗС}(A(x), B(x)) = x^2(x - 1)^2(x + 1) \]
НЗД: Тражимо заједничке чиниоце са најмањим степеном. То су \( x \) и \( (x - 1) \). \[ \text{НЗД}(A(x), B(x)) = x(x - 1) \]
НЗС: Тражимо све чиниоце са највећим степеном. То су \( x^2 \), \( (x - 1)^2 \) и \( (x + 1) \). \[ \text{НЗС}(A(x), B(x)) = x^2(x - 1)^2(x + 1) \]
Додатни задатак: Одредите НЗД и НЗС за полиноме \( A(x) = x^2 + 1 \) и \( B(x) = x^2 + x + 1 \).
Ови полиноми се у скупу реалних бројева не могу даље раставити на чиниоце (немају реалне нуле).
Како немају заједничких делилаца осим константе, важи:
\[ \text{НЗД}(A(x), B(x)) = 1 \]
Њихов најмањи заједнички садржалац је једнак њиховом производу:
\[ \text{НЗС}(A(x), B(x)) = (x^2 + 1)(x^2 + x + 1) \]
