Најважније из лекције
Линеарне неједначине: Решавају се слично једначинама (раздвајањем непознатих и познатих). Кључно: При множењу или дељењу неједначине негативним бројем, знак неједнакости се мења (нпр. из \( < \) у \( > \)).
Производи и количници: Ако се тражи да производ/количник буде мањи или већи од нуле, користи се таблица знакова за анализу сваког чиниоца посебно.
Апсолутне вредности и параметри: Захтевају дељење задатка на "случајеве" у зависности од тога да ли је израз (или параметар) позитиван или негативан.
Производи и количници: Ако се тражи да производ/количник буде мањи или већи од нуле, користи се таблица знакова за анализу сваког чиниоца посебно.
Апсолутне вредности и параметри: Захтевају дељење задатка на "случајеве" у зависности од тога да ли је израз (или параметар) позитиван или негативан.
Решавање неједначина се заснива на трансформацијама које неједначину преводе у другу неједначину са истим скупом решења.
Додавање/одузимање: Неједнакост се не мења ако се обема странама дода или одузме исти израз.
\( L(x) < D(x) \Leftrightarrow L(x) + A(x) < D(x) + A(x) \)
\( L(x) < D(x) \Leftrightarrow L(x) + A(x) < D(x) + A(x) \)
Множење/дељење позитивним бројем: Знак неједнакости остаје исти.
Ако је \( c > 0 \): \( L(x) < D(x) \Leftrightarrow c \cdot L(x) < c \cdot D(x) \)
Ако је \( c > 0 \): \( L(x) < D(x) \Leftrightarrow c \cdot L(x) < c \cdot D(x) \)
Множење/дељење негативним бројем: Знак неједнакости се окреће!
Ако је \( c < 0 \): \( L(x) < D(x) \Leftrightarrow c \cdot L(x) > c \cdot D(x) \)
Ако је \( c < 0 \): \( L(x) < D(x) \Leftrightarrow c \cdot L(x) > c \cdot D(x) \)
Свака неједначина која се може свести на облик \( ax \le b \), \( ax \ge b \), \( ax < b \) или \( ax > b \) назива се линеарном неједначином.
Скупови решења се приказују као неограничени интервали:
- \( x \ge a \Leftrightarrow x \in [a, +\infty) \)
- \( x > a \Leftrightarrow x \in (a, +\infty) \)
- \( x \le a \Leftrightarrow x \in (-\infty, a] \)
- \( x < a \Leftrightarrow x \in (-\infty, a) \)
Неједначине са производом или количником израза решавају се анализом знака чинилаца. Производ (или количник) је негативан само ако су чиниоци различитог знака.
\[ a \cdot b < 0 \Leftrightarrow (a < 0 \land b > 0) \lor (a > 0 \land b < 0) \]
За решавање сложенијих израза користи се таблица (шема) знакова, где се на бројној правој анализира знак сваког чиниоца засебно, а затим се одређује знак њиховог производа или количника.
Ових једначина се ослобађамо применом дефиниције апсолутне вредности, што значи да задатак делимо на случајеве.
\[ |x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} \]
За једначину облика \( |A(x)| = B(x) \):
\[ |A(x)| = B(x) \Leftrightarrow (A(x) \ge 0 \land A(x) = B(x)) \lor (A(x) < 0 \land -A(x) = B(x)) \]
Када неједначина садржи параметар (нпр. \( a \)), решавање захтева дискусију случајева на основу знака израза уз непознату \( x \).
За неједначину \( (a-1)x < (a-1)(a+1) \):
- Случај 1 (\( a > 1 \)): Израз уз \( x \) је позитиван. Делимо без промене знака: \( x < a+1 \).
- Случај 2 (\( a < 1 \)): Израз уз \( x \) је негативан. Делимо уз промену знака: \( x > a+1 \).
- Случај 3 (\( a = 1 \)): Добијамо \( 0 < 0 \), што је нетачно (нема решења).
Задаци за вежбање
Лак: Реши неједначину \( 4x - 7 \ge 5 \) и запиши решење у облику интервала.
\( 4x - 7 \ge 5 \)
\( 4x \ge 5 + 7 \)
\( 4x \ge 12 \quad /:4 \)
\( x \ge 3 \)
Одговор: \( x \in [3, +\infty) \)
\( 4x \ge 5 + 7 \)
\( 4x \ge 12 \quad /:4 \)
\( x \ge 3 \)
Одговор: \( x \in [3, +\infty) \)
Средњи: Реши неједначину \( -2x + 8 > 14 \).
\( -2x > 14 - 8 \)
\( -2x > 6 \)
Делимо негативним бројем (-2), па се знак неједнакости окреће:
\( x < -3 \)
Одговор: \( x \in (-\infty, -3) \)
\( -2x > 6 \)
Делимо негативним бројем (-2), па се знак неједнакости окреће:
\( x < -3 \)
Одговор: \( x \in (-\infty, -3) \)
Средњи: Реши неједначину \( (x - 4)(x + 2) < 0 \).
Производ је негативан ако су чиниоци различитог знака. Анализом (шемом) знакова за корене \( -2 \) и \( 4 \):
Израз \( x - 4 \) је позитиван за \( x > 4 \), негативан за \( x < 4 \).
Израз \( x + 2 \) је позитиван за \( x > -2 \), негативан за \( x < -2 \).
Производ је негативан између корена.
Одговор: \( x \in (-2, 4) \)
Израз \( x - 4 \) је позитиван за \( x > 4 \), негативан за \( x < 4 \).
Израз \( x + 2 \) је позитиван за \( x > -2 \), негативан за \( x < -2 \).
Производ је негативан између корена.
Одговор: \( x \in (-2, 4) \)
Тежак: Реши једначину са апсолутном вредношћу \( |x - 5| = 2 \).
Раздвајамо на два случаја на основу дефиниције апсолутне вредности:
1. случај (\( x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5 \)):
\( x - 5 = 2 \Rightarrow x = 7 \) (Број 7 припада услову \( x \ge 5 \), па јесте решење).
2. случај (\( x - 5 < 0 \Rightarrow x < 5 \)):
\( -(x - 5) = 2 \Rightarrow -x + 5 = 2 \Rightarrow -x = -3 \Rightarrow x = 3 \) (Број 3 припада услову \( x < 5 \), па јесте решење).
Одговор: Решења су \( x = 3 \) и \( x = 7 \).
1. случај (\( x - 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5 \)):
\( x - 5 = 2 \Rightarrow x = 7 \) (Број 7 припада услову \( x \ge 5 \), па јесте решење).
2. случај (\( x - 5 < 0 \Rightarrow x < 5 \)):
\( -(x - 5) = 2 \Rightarrow -x + 5 = 2 \Rightarrow -x = -3 \Rightarrow x = 3 \) (Број 3 припада услову \( x < 5 \), па јесте решење).
Одговор: Решења су \( x = 3 \) и \( x = 7 \).
