Најважније из лекције
- Размера дужи је количник њихових мерних бројева. Ако је размера рационалан број, дужи су самерљиве, а ако је ирационалан, несамерљиве су.
- Подела дужи у размери \( m:n \): Врши се геометријски помоћу помоћне полуправе подељене на \( m+n \) једнаких делова и повлачењем паралелних правих.
- Талесова теорема: Паралелне праве одсецају на трансверзалама пропорционалне одсечке. \( AB : CD = A_1B_1 : C_1D_1 \).
Ако је позитиван реалан број \( r \) мерни број дужине дужи \( AB \) мерене јединицом мере \( CD \), пишемо \( AB = rCD \) или \( AB : CD = r \). Број \( r \) се назива размера дужи \( AB \) и \( CD \).
Размера две дужи једнака је размери њихових мерних бројева \( |AB| : |CD| \) за било који избор јединице мере.
Самерљиве дужи: Дужи чија је размера рационалан број (може се записати у облику разломка \( \frac{m}{n} \)).
Несамерљиве дужи: Дужи чија је размера ирационалан број.
Из једнакости \( AB : CD = m : n \) (где су \( m, n \in \mathbb{N} \)), следи:
\( AB = \frac{m}{n} CD \)
\( CD = \frac{n}{m} AB \)
\( \frac{AB}{m} = \frac{CD}{n} \)
\( n \cdot AB = m \cdot CD \)
\( AB = \frac{m}{n} CD \)
\( CD = \frac{n}{m} AB \)
\( \frac{AB}{m} = \frac{CD}{n} \)
\( n \cdot AB = m \cdot CD \)
Ако је размера дужи \( PQ \) и \( RS \) једнака \( 5 : 4 \), изрази дуж \( PQ \) преко дужи \( RS \).
Из \( PQ : RS = 5 : 4 \) следи да је \( PQ = \frac{5}{4} RS \).
Паралелне праве које секу две трансверзале (праве које их пресецају) одсецају на њима пропорционалне, односно подударне одсечке. Ако је на једној трансверзали \( AB \cong CD \), онда је на другој \( A_1B_1 \cong C_1D_1 \).
Ова теорема нам омогућава да геометријски поделимо дуж на једнаке делове или у датој размери, коришћењем помоћне полуправе и паралелних правих.
Да бисмо дуж \( AB \) поделили у размери \( m : n \), из једног краја дужи (нпр. \( A \)) конструишемо произвољну помоћну полуправу.
На помоћној полуправој надовежемо \( m + n \) једнаких (произвољних) одсечака.
Крајњу тачку последњег одсечка спојимо са тачком \( B \).
Кроз крајњу тачку \( m \)-тог одсечка конструишемо праву паралелну са претходно повученом правом. Пресек ове паралелне праве и дужи \( AB \) дели ту дуж у траженој размери \( m : n \).
Нека су \( p \) и \( p_1 \) две праве (трансверзале) и нека их секу паралелне праве \( a, b, c, d \). Ако паралелне праве на правој \( p \) одсецају дужи \( A, B, C, D \), а на правој \( p_1 \) одговарајуће дужи \( A_1, B_1, C_1, D_1 \), тада важи:
Ако је \( AB : CD = k \), онда је и \( A_1B_1 : C_1D_1 = k \), за било који реалан број \( k \).
Ако је \( AB : CD = k \), онда је и \( A_1B_1 : C_1D_1 = k \), за било који реалан број \( k \).
Талесова теорема нам говори да паралелне праве одсецају пропорционалне одсечке на крацима било ког угла (или на било којим двема правама).
Нека паралелне праве одсецају на једној трансверзали дужи \( AB \) и \( CD \) такве да је \( AB = 3 \) cm и \( CD = 6 \) cm. Ако на другој трансверзали одговарајућа дуж \( A_1B_1 \) износи \( 4 \) cm, колика је дужина дужи \( C_1D_1 \)?
Према Талесовој теореми: \( AB : CD = A_1B_1 : C_1D_1 \)
\( 3 : 6 = 4 : C_1D_1 \)
\( \frac{1}{2} = \frac{4}{C_1D_1} \)
\( C_1D_1 = 8 \) cm.
\( 3 : 6 = 4 : C_1D_1 \)
\( \frac{1}{2} = \frac{4}{C_1D_1} \)
\( C_1D_1 = 8 \) cm.
Задаци за вежбање
Лак:
Дужина дужи \( AB \) је \( 15 \) cm, а дужине дужи \( CD \) је \( 5 \) cm. Колика је њихова размера \( AB : CD \)? Да ли су ове дужи самерљиве?
Размера је \( 15 : 5 = 3 \). Пошто је број \( 3 \) рационалан број (може се записати као \( \frac{3}{1} \)), ове дужи јесу самерљиве.
Средњи:
Тачка \( M \) дели дуж \( AB \) чија је дужина \( 24 \) cm у размери \( 3 : 5 \). Израчунај дужине одсечака \( AM \) и \( MB \).
Нека је \( AM = 3k \) и \( MB = 5k \).
\( AM + MB = AB \)
\( 3k + 5k = 24 \)
\( 8k = 24 \implies k = 3 \) cm.
Дужине су: \( AM = 3 \cdot 3 = 9 \) cm и \( MB = 5 \cdot 3 = 15 \) cm.
\( AM + MB = AB \)
\( 3k + 5k = 24 \)
\( 8k = 24 \implies k = 3 \) cm.
Дужине су: \( AM = 3 \cdot 3 = 9 \) cm и \( MB = 5 \cdot 3 = 15 \) cm.
Тежак:
На крацима угла са теменом \( O \) пресечене су две паралелне праве. На једном краку одсечене су дужи \( OA = 4 \) cm и \( AB = 6 \) cm. На другом краку паралелне праве одсецају дужи \( OA_1 \) и \( A_1B_1 \). Ако је дужина дужи \( A_1B_1 = 9 \) cm, израчунај дужину \( OA_1 \).
Према Талесовој теореми, размера одсечака на једном краку једнака је размери одговарајућих одсечака на другом краку:
\( OA : AB = OA_1 : A_1B_1 \)
\( 4 : 6 = OA_1 : 9 \)
\( \frac{4}{6} = \frac{OA_1}{9} \implies \frac{2}{3} = \frac{OA_1}{9} \)
\( 3 \cdot OA_1 = 18 \implies OA_1 = 6 \) cm.
\( OA : AB = OA_1 : A_1B_1 \)
\( 4 : 6 = OA_1 : 9 \)
\( \frac{4}{6} = \frac{OA_1}{9} \implies \frac{2}{3} = \frac{OA_1}{9} \)
\( 3 \cdot OA_1 = 18 \implies OA_1 = 6 \) cm.
