51. Примене Ставова Сличности

За решавање овог задатка користићемо метричке релације у правоуглом троуглу. Нека је \( c \) хипотенуза, \( a \) и \( b \) катете, \( h \) висина која одговара хипотенузи, а \( p \) и \( q \) одсечци на које та висина дели хипотенузу (при чему је \( p \) уз катету \( b \), а \( q \) уз катету \( a \)). Тада важе следеће формуле: - Питагорина теорема: \( c^2 = a^2 + b^2 \) - Катета је геометријска средина хипотенузе и одговарајућег одсечка: \( a^2 = c \cdot q \) и \( b^2 = c \cdot p \) - Висина је геометријска средина одсечака: \( h^2 = p \cdot q \) - Хипотенуза је једнака збиру одсечака: \( c = p + q \) Такође, из Питагорине теореме примењене на мање правоугле троуглове унутар датог важи: \( a^2 = h^2 + q^2 \) \( b^2 = h^2 + p^2 \)

1) Ако је \( b=8\text{ cm} \) и \( c=10\text{ cm} \)

Корак 1: Израчунавање катете \( a \)

Применићемо Питагорину теорему да бисмо пронашли дужину друге катете. \[ a^2 = c^2 - b^2 \] \[ a^2 = 10^2 - 8^2 \] \[ a^2 = 100 - 64 \] \[ a^2 = 36 \Rightarrow a = 6\text{ cm} \]

Корак 2: Одређивање одсечка \( p \)

Користимо формулу која повезује катету, хипотенузу и одговарајући одсечак. \[ b^2 = c \cdot p \] \[ 8^2 = 10 \cdot p \] \[ 64 = 10 \cdot p \Rightarrow p = 6,4\text{ cm} \]

Корак 3: Одређивање одсечка \( q \)

Хипотенуза је збир два одсечка, па можемо одузети \( p \) од \( c \). \[ c = p + q \] \[ 10 = 6,4 + q \Rightarrow q = 3,6\text{ cm} \]

Корак 4: Израчунавање висине \( h \)

Висина на хипотенузу се може израчунати преко одсечака. \[ h^2 = p \cdot q \] \[ h^2 = 6,4 \cdot 3,6 \] \[ h^2 = 23,04 \Rightarrow h = 4,8\text{ cm} \]

2) Ако је \( a=12\text{ cm} \) и \( b=5\text{ cm} \)

Корак 1: Израчунавање хипотенузе \( c \)

Прво ћемо применити Питагорину теорему. \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 12^2 + 5^2 \] \[ c^2 = 144 + 25 \] \[ c^2 = 169 \Rightarrow c = 13\text{ cm} \]

Корак 2: Одређивање одсечака \( p \) и \( q \)

Користимо формуле за квадрате катета да бисмо нашли одсечке. \[ b^2 = c \cdot p \Rightarrow 25 = 13 \cdot p \Rightarrow p = \frac{25}{13}\text{ cm} \] \[ a^2 = c \cdot q \Rightarrow 144 = 13 \cdot q \Rightarrow q = \frac{144}{13}\text{ cm} \]

Корак 3: Израчунавање висине \( h \)

Висину рачунамо множењем два одсечка. \[ h^2 = p \cdot q \] \[ h^2 = \frac{25}{13} \cdot \frac{144}{13} = \frac{3600}{169} \Rightarrow h = \frac{60}{13}\text{ cm} \]

3) Ако је \( b=25\text{ cm} \) и \( p=20\text{ cm} \)

Корак 1: Израчунавање хипотенузе \( c \)

Познати су нам катета и њен одсечак, па можемо наћи хипотенузу. \[ b^2 = c \cdot p \] \[ 25^2 = c \cdot 20 \] \[ 625 = c \cdot 20 \Rightarrow c = \frac{625}{20} = \frac{\cancel{625}^{125}}{\cancel{20}_{4}} = 31,25\text{ cm} \]

Корак 2: Одређивање одсечка \( q \)

Одузећемо познати одсечак од целе хипотенузе. \[ q = c - p \] \[ q = 31,25 - 20 = 11,25\text{ cm} \]

Корак 3: Израчунавање катете \( a \) и висине \( h \)

Примењујемо одговарајуће метричке релације. \[ a^2 = c \cdot q = 31,25 \cdot 11,25 = 351,5625 \Rightarrow a = 18,75\text{ cm} \] \[ h^2 = p \cdot q = 20 \cdot 11,25 = 225 \Rightarrow h = 15\text{ cm} \]

4) Ако је \( a=8\text{ cm} \) и \( h=4,8\text{ cm} \)

Корак 1: Израчунавање одсечка \( q \)

Катета \( a \), висина \( h \) и одсечак \( q \) чине правоугли троугао. Применићемо Питагорину теорему на тај мањи троугао. \[ a^2 = h^2 + q^2 \] \[ 8^2 = 4,8^2 + q^2 \] \[ 64 = 23,04 + q^2 \] \[ q^2 = 64 - 23,04 = 40,96 \Rightarrow q = 6,4\text{ cm} \]

Корак 2: Одређивање одсечка \( p \) и хипотенузе \( c \)

Користићемо квадрат висине да нађемо други одсечак. \[ h^2 = p \cdot q \] \[ 4,8^2 = p \cdot 6,4 \] \[ 23,04 = p \cdot 6,4 \Rightarrow p = \frac{23,04}{6,4} = 3,6\text{ cm} \] \[ c = p + q = 3,6 + 6,4 = 10\text{ cm} \]

Корак 3: Израчунавање катете \( b \)

На крају, налазимо другу катету. \[ b^2 = c \cdot p = 10 \cdot 3,6 = 36 \Rightarrow b = 6\text{ cm} \]

5) Ако је \( p=16\text{ cm} \) и \( q=9\text{ cm} \)

Корак 1: Израчунавање хипотенузе \( c \) и висине \( h \)

Сабирамо одсечке да бисмо добили хипотенузу, и множимо их да бисмо нашли квадрат висине. \[ c = p + q = 16 + 9 = 25\text{ cm} \] \[ h^2 = p \cdot q = 16 \cdot 9 = 144 \Rightarrow h = 12\text{ cm} \]

Корак 2: Израчунавање катета \( a \) и \( b \)

Користимо формуле за метричке релације катета. \[ a^2 = c \cdot q = 25 \cdot 9 = 225 \Rightarrow a = 15\text{ cm} \] \[ b^2 = c \cdot p = 25 \cdot 16 = 400 \Rightarrow b = 20\text{ cm} \]

6) Ако је \( h=6\text{ cm} \) и \( p=14,4\text{ cm} \)

Корак 1: Одређивање одсечка \( q \) и хипотенузе \( c \)

Из једначине за висину можемо извести непознати одсечак. \[ h^2 = p \cdot q \] \[ 6^2 = 14,4 \cdot q \] \[ 36 = 14,4 \cdot q \Rightarrow q = \frac{36}{14,4} = \frac{360}{144} = \frac{\cancel{360}^{5}}{\cancel{144}_{2}} = 2,5\text{ cm} \] \[ c = p + q = 14,4 + 2,5 = 16,9\text{ cm} \]

Корак 2: Израчунавање катета \( a \) и \( b \)

Сада када имамо хипотенузу и одсечке, лако рачунамо катете. \[ a^2 = c \cdot q = 16,9 \cdot 2,5 = 42,25 \Rightarrow a = 6,5\text{ cm} \] \[ b^2 = c \cdot p = 16,9 \cdot 14,4 = 243,36 \Rightarrow b = 15,6\text{ cm} \]

7) Ако је \( c=5\text{ cm} \) и \( h=2\text{ cm} \)

Корак 1: Постављање система једначина за одсечке

Познато нам је да је збир одсечака једнак хипотенузи, а њихов производ једнак квадрату висине. \[ p + q = 5 \] \[ p \cdot q = 2^2 = 4 \]

Корак 2: Решавање система свођењем на квадратну једначину

Ово можемо решити сменом. Из прве једначине изражавамо \( q \): \[ q = 5 - p \] Заменом у другу једначину добијамо: \[ p(5 - p) = 4 \] \[ 5p - p^2 = 4 \] \[ p^2 - 5p + 4 = 0 \] Ову квадратну једначину решавамо растављањем на чиниоце: \[ p^2 - p - 4p + 4 = 0 \] \[ p(p - 1) - 4(p - 1) = 0 \] \[ (p - 1)(p - 4) = 0 \] Одавде закључујемо да решења за \( p \) могу бити \( p = 1 \) или \( p = 4 \).

Корак 3: Израчунавање катета за оба случаја

Случај 1: Ако је \( p = 1\text{ cm} \), тада је \( q = 4\text{ cm} \). \[ a^2 = c \cdot q = 5 \cdot 4 = 20 \Rightarrow a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\text{ cm} \] \[ b^2 = c \cdot p = 5 \cdot 1 = 5 \Rightarrow b = \sqrt{5}\text{ cm} \] Случај 2: Ако је \( p = 4\text{ cm} \), тада је \( q = 1\text{ cm} \). \[ a^2 = c \cdot q = 5 \cdot 1 = 5 \Rightarrow a = \sqrt{5}\text{ cm} \] \[ b^2 = c \cdot p = 5 \cdot 4 = 20 \Rightarrow b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\text{ cm} \]

1)

\( a = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\text{ cm} \); \( p = \frac{8^2}{10} = 6,4\text{ cm} \); \( q = 10 - 6,4 = 3,6\text{ cm} \); \( h = \sqrt{6,4 \cdot 3,6} = 4,8\text{ cm} \)

2)

\( c = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ cm} \); \( p = \frac{5^2}{13} = \frac{25}{13}\text{ cm} \); \( q = \frac{12^2}{13} = \frac{144}{13}\text{ cm} \); \( h = \sqrt{\frac{25}{13} \cdot \frac{144}{13}} = \frac{60}{13}\text{ cm} \)

3)

\( c = \frac{25^2}{20} = 31,25\text{ cm} \); \( q = 31,25 - 20 = 11,25\text{ cm} \); \( a = \sqrt{31,25 \cdot 11,25} = 18,75\text{ cm} \); \( h = \sqrt{20 \cdot 11,25} = 15\text{ cm} \)

4)

\( q = \sqrt{8^2 - 4,8^2} = 6,4\text{ cm} \); \( p = \frac{4,8^2}{6,4} = 3,6\text{ cm} \); \( c = 3,6 + 6,4 = 10\text{ cm} \); \( b = \sqrt{10 \cdot 3,6} = 6\text{ cm} \)

5)

\( c = 16 + 9 = 25\text{ cm} \); \( h = \sqrt{16 \cdot 9} = 12\text{ cm} \); \( a = \sqrt{25 \cdot 9} = 15\text{ cm} \); \( b = \sqrt{25 \cdot 16} = 20\text{ cm} \)

6)

\( q = \frac{6^2}{14,4} = 2,5\text{ cm} \); \( c = 14,4 + 2,5 = 16,9\text{ cm} \); \( a = \sqrt{16,9 \cdot 2,5} = 6,5\text{ cm} \); \( b = \sqrt{16,9 \cdot 14,4} = 15,6\text{ cm} \)

7)

\( p+q = 5, pq = 4 \Rightarrow (p-1)(p-4) = 0 \). Случај I: \( p = 1, q = 4 \Rightarrow a = 2\sqrt{5}\text{ cm}, b = \sqrt{5}\text{ cm} \); Случај II: \( p = 4, q = 1 \Rightarrow a = \sqrt{5}\text{ cm}, b = 2\sqrt{5}\text{ cm} \)