24. Важне Геометријске Фигуре. Угао И Многоугао

Фигура је конвексна ако за сваке две њене тачке \( A \) и \( B \) важи \( AB \subseteq \Phi \). Да би фигура била неконвексна, довољно је да пронађемо две њене тачке чија дуж није цела у фигури. Зато ћемо у оба случаја узети по један пример и дати такав пар тачака.

Унија

Корак 1. Избор конвексних фигура

Конвексне фигуре су, на пример, два правоугаоника: \( \Phi \) је вертикални правоугаоник ширине \( 1 \) и висине \( 4 \), а \( \Psi \) је хоризонтални правоугаоник ширине \( 3 \) и висине \( 1 \). Оба имају доње лево теме у тачки \( O(0,0) \). Правоугаоници су конвексне фигуре. Њихова унија \( \Phi \cup \Psi \) има облик слова „L”.
Нацртати два правоугаоника који се секу и формирају облик слова "L". Први, вертикални правоугаоник ($\Phi$), нека има доњи леви угао у координатном почетку (0,0), ширину 1 јединицу и висину 4 јединице. Други, хоризонтални правоугаоник ($\Psi$), нека такође има доњи леви угао у координатном почетку (0,0), ширину 3 јединице и висину 1 јединицу. Њихова унија, која представља облик слова "L", треба да буде осенчена истом бојом. У горњем делу вертикалног правоугаоника ($\Phi$), у његовој унутрашњости, означити тачку A на координатама (0.5, 3.5). У десном крају хоризонталног правоугаоника ($\Psi$), у његовој унутрашњости, означити тачку B на координатама (2.5, 0.5). Повући дуж AB. Део дужи AB који пролази кроз празан простор, који није део осенчене L-области (тј. кроз регију `x > 1` и `y > 1`), нагласити испрекиданом линијом, док остатак дужи AB треба да буде пуна линија.

Корак 2. Избор две тачке уније

Бирамо тачку \( A(0,5;\,3,5) \in \Phi \) и тачку \( B(2,5;\,0,5) \in \Psi \). Обе тачке припадају унији \( \Phi \cup \Psi \).

Корак 3. Провера дужи AB

Средиште дужи \( AB \) је тачка \( M \): \[ M\left(\frac{0,5+2,5}{2},\ \frac{3,5+0,5}{2}\right) = M(1,5;\ 2) \] Тачка \( M \) није у \( \Phi \), јер је њена апсциса \( 1,5 > 1 \). Није ни у \( \Psi \), јер је њена ордината \( 2 > 1 \). Дакле, \( M \notin \Phi \cup \Psi \).

Корак 4. Закључак

Како \( A, B \in \Phi \cup \Psi \) и \( AB \not\subseteq \Phi \cup \Psi \), унија две конвексне фигуре није конвексна фигура.

Разлика

Корак 1. Избор конвексних фигура

Нека су \( \Phi \) и \( \Psi \) два концентрична круга са центром \( O \), при чему је полупречник круга \( \Phi \) једнак \( R \), а полупречник круга \( \Psi \) једнак \( r \), и важи \( r < R \). Кругови су конвексне фигуре. Разлика \( \Phi \setminus \Psi \) је кружни прстен.
Нацртати две концентричне кружнице са центром у координатном почетку (0,0). Већа кружница, која дефинише круг \Phi, има полупречник R. Мања кружница, која дефинише круг \Psi, има полупречник r, при чему је r < R. Осенчити област кружног прстена (анулуса) која представља разлику \Phi \setminus \Psi, односно све тачке које припадају кругу \Phi, али не припадају кругу \Psi. Ова област треба да буде испуњена светлом нијансом сиве боје. Круг \Psi унутар круга \Phi треба да остане неосенчен. На осенченом кружном прстену, означити тачку A на левој страни, тачно на координати (-R, 0) (на спољној кружници \Phi). Означити тачку B на десној страни, тачно на координати (R, 0) (такође на спољној кружници \Phi). Повући праву линију која спаја тачке A и B. Делови дужи AB који се налазе унутар осенченог кружног прстена (од тачке A до тачке (-r,0) и од тачке (r,0) до тачке B) треба да буду пуне линије. Део дужи AB који пролази кроз неосенчени унутрашњи круг \Psi (тј. од тачке (-r, 0) до тачке (r, 0), кроз "рупу") треба да буде приказан испрекиданом линијом.

Корак 2. Избор две тачке разлике

Нека су \( A \) и \( B \) крајеви једног пречника круга \( \Phi \). Оне леже на спољашњој кружници, па припадају кругу \( \Phi \). Како је \( r < R \), не припадају кругу \( \Psi \). Дакле, \( A, B \in \Phi \setminus \Psi \).

Корак 3. Провера дужи AB

Дуж \( AB \) садржи центар \( O \), који је њено средиште. Тачка \( O \) припада кругу \( \Psi \), па \( O \notin \Phi \setminus \Psi \).

Корак 4. Закључак

Како \( A, B \in \Phi \setminus \Psi \) и \( AB \not\subseteq \Phi \setminus \Psi \), разлика две конвексне фигуре није конвексна фигура.

Унија: \( \Phi \) (\( 1 \times 4 \)) и \( \Psi \) (\( 3 \times 1 \)) су правоугаоници, па је \( \Phi \cup \Psi \) „L”. \( A(0,5;\,3,5) \), \( B(2,5;\,0,5) \), \( M(1,5;\,2) \in AB \), \( M \notin \Phi \cup \Psi \). Разлика: \( \Phi \) и \( \Psi \) су концентрични кругови, \( r < R \). \( A, B \in \Phi \setminus \Psi \) (крајеви пречника), \( O \in AB \), \( O \in \Psi \Rightarrow O \notin \Phi \setminus \Psi \).