Најважније из лекције
Кључно о апсолутној вредности:
- Апсолутна вредност \( |x| \) претвара сваки негативан број у позитиван, док позитивни бројеви и нула остају непромењени. Увек важи \( |x| \ge 0 \).
- Геометријски, израз \( |x - a| \le \varepsilon \) означава скуп свих тачака чије је растојање од тачке \( a \) мање или једнако \( \varepsilon \) (затворени интервал).
- Апсолутна вредност производа и количника једнака је производу, односно количнику апсолутних вредности: \( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \) и \( \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} \).
- За збир и разлику важе посебне неједнакости, од којих је најважнија неједнакост троугла: \( |x + y| \le |x| + |y| \).
Апсолутна вредност реалног броја \( x \) означава се са \( |x| \).
\[ |x| = \begin{cases} x, & \text{ако је } x \ge 0, \\ -x, & \text{ако је } x < 0. \end{cases} \]
Ако је број већи или једнак нули, његова апсолутна вредност је он сам. Ако је број мањи од нуле, његова апсолутна вредност је њему супротан број (који је позитиван). Често се нула издваја као посебан случај, мада то суштински не мења дефиницију.
За сваки реалан број \( x \) важи:
- \( |x| \ge 0 \)
- \( |-x| = |x| \)
Ово значи да је апсолутна вредност било ког реалног броја увек ненегативна и да супротни бројеви имају исту апсолутну вредност.
Апсолутна вредност се може користити за описивање интервала на бројевној правој. Нека је \( a \) произвољан реалан број и \( \varepsilon \) произвољан позитиван број.
- Скуп свих реалних бројева \( x \) таквих да је \( |x - a| \le \varepsilon \) представља затворени интервал \( [a - \varepsilon, a + \varepsilon] \).
- Скуп свих реалних бројева \( x \) таквих да је \( |x - a| < \varepsilon \) представља отворени интервал \( (a - \varepsilon, a + \varepsilon) \).
Да бисмо одредили скуп бројева за које важи \( |x - 1,4| \le 0,6 \), неједнакост раздвајамо:
\[ -0,6 \le x - 1,4 \le 0,6 \]
Додавањем 1,4 свим странама добијамо:
\[ 0,8 \le x \le 2 \]
За све реалне бројеве \( x \) и \( y \) важе следећа правила:
- \( x \le |x| \) и \( -x \le |x| \)
- \( x \le y \wedge -x \le y \Rightarrow |x| \le y \)
- \( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \)
- \( \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} \), под условом да је \( y \neq 0 \)
- \( |x + y| \le |x| + |y| \) (Неједнакост троугла)
- \( ||x| - |y|| \le |x - y| \le |x| + |y| \)
При раду са апсолутним вредностима (решавање једначина, неједначина или доказивање теорема), углавном је неопходно разликовати случајеве у складу са дефиницијом (када је израз под апсолутном вредношћу \( \ge 0 \), а када је \( < 0 \)).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредност израза: \( |-8| + |5| - |-2| \).
Применом дефиниције апсолутне вредности имамо:
\( |-8| = 8 \)
\( |5| = 5 \)
\( |-2| = 2 \)
Заменом у израз добијамо:
\( 8 + 5 - 2 = 13 - 2 = 11 \).
\( |-8| = 8 \)
\( |5| = 5 \)
\( |-2| = 2 \)
Заменом у израз добијамо:
\( 8 + 5 - 2 = 13 - 2 = 11 \).
Средњи: Реши једначину \( |x - 3| = 4 \).
На основу дефиниције, једначина се раздваја на два случаја:
Случај 1: \( x - 3 = 4 \Rightarrow x = 7 \)
Случај 2: \( x - 3 = -4 \Rightarrow x = -1 \)
Решење: \( x \in \{-1, 7\} \).
Случај 1: \( x - 3 = 4 \Rightarrow x = 7 \)
Случај 2: \( x - 3 = -4 \Rightarrow x = -1 \)
Решење: \( x \in \{-1, 7\} \).
Тежак: Реши неједначину \( |2x + 1| \le 5 \).
Дата неједнакост се може записати у облику система неједначина:
\( -5 \le 2x + 1 \le 5 \)
Одузимањем броја 1 од свих страна добијамо:
\( -6 \le 2x \le 4 \)
Дељењем са 2 добијамо:
\( -3 \le x \le 2 \)
Решење: \( x \in [-3, 2] \).
\( -5 \le 2x + 1 \le 5 \)
Одузимањем броја 1 од свих страна добијамо:
\( -6 \le 2x \le 4 \)
Дељењем са 2 добијамо:
\( -3 \le x \le 2 \)
Решење: \( x \in [-3, 2] \).
