Функције $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ и $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ дефинисане су са $f(x) = x - 1$ и $g(x) = 1 - x$. Одреди: $f \circ g$, $g \circ f$, $f \circ f$, $g \circ g$, $(f \circ f) \circ f$.

Композиција функција Композиција функција $ f $ и $ g $, у ознаци $ f \circ g $, дефинисана је као $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $. Да бисмо одредили композицију, уместо аргумента $ x $ у спољашњој функцији заменићемо цео израз унутрашње функције. Одређивање композиције $ f \circ g $ Заменићемо израз за функцију $ g(x) $ као аргумент у функцију $ f(x) $. \[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \] Уместо $ g(x) $ пишемо $ 1 - x $: \[ f(g(x)) = f(1 - x) \] Сада у изразу за $ f(x) = x - 1 $...

Функције

Најважније из лекције

Функција: Правило које сваком елементу из домена придружује тачно један елемент из кодомена ($ f(x) = y $).
Композиција: "Надовезивање" две функције једна на другу: $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $.
Својства: Функција је 1-1 ако различитим улазима даје различите излазе. Функција је на ако покрива цео кодомен. Ако је и једно и друго, онда је бијекција.
Инверзна функција: $ f^{-1}(x) $ поништава ефекат функције $ f(x) $. Постоји само ако је оригинална функција бијекција.

Скуп уређених парова $ f $ је функција из скупа $ A $ у скуп $ B $ ако сваком елементу $ x $ из $ A $ придружује тачно један елемент $ y $ из $ B $.

Ознака: $ f: A \to B $.
Скуп $ A $ се назива домен (област дефинисаности), а скуп $ B $ кодомен (област вредности).
Уместо $ (x, y) \in f $, најчешће пишемо $ f(x) = y $.

Нека је $ A = \{a, b, c, d\} $ и $ B = \{1, 2, 3\} $.
Скуп $ f = \{(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 3)\} $ јесте функција, јер се свако слово појављује тачно једном као прва координата.
Ово се може записати и као: \[ f = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ 1 & 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \] Функције се често задају и аналитички, нпр. $ f(x) = 2x + 1 $.

Да ли скуп парова $ g = \{(1, 5), (2, 6), (1, 7)\} $ представља функцију из скупа $ A=\{1, 2\} $ у скуп $ B=\{5, 6, 7\} $?

Одговор: Не. Елементу $ 1 $ из домена су придружена два различита елемента из кодомена ($ 5 $ и $ 7 $), што крши основно правило функције да сваком елементу из домена мора бити придружен тачно један елемент кодомена.

Ако су дате две функције $ f: A \to B $ и $ g: B \to C $, оне се могу "надовезати" једна на другу. Нова функција која настаје њиховим спајањем назива се композиција функција.

Композиција функција $ f $ и $ g $ означава се са $ g \circ f $ и дефинише се као: \[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \] Прво се примењује функција $ f $ на $ x $, а затим функција $ g $ на добијени резултат $ f(x) $.

Ако је $ f(x) = 2x $ и $ g(x) = x + 3 $, одредити композицију $ (g \circ f)(x) $.

$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
Уместо $ f(x) $ убацујемо $ 2x $:
$ g(2x) = 2x + 3 $
Одговор: $ (g \circ f)(x) = 2x + 3 $.

1-1 функција (један-један): Функција пресликава различите елементе домена у различите елементе кодомена. \[ x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \] (или еквивалентно: $ f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 $).

"На" функција (сурјекција): Сваки елемент кодомена је "погођен". За свако $ y \in B $ постоји неко $ x \in A $ тако да је $ f(x) = y $.

Бијекција: Функција која је истовремено и 1-1 и на. Ово је савршено упаривање елемената два скупа.

$Четири дијаграма пресликавања функција, распоређена у два реда и две колоне. Сваки дијаграм приказује домен А и кодомен Б као овалне скупове, са елементима представљеним малим круговима унутар њих. Стрелице показују пресликавање елемената из домена А у кодомен Б. Сви елементи у скупу А су означени са $a_1, a_2, \dots$, а у скупу Б са $b_1, b_2, \dots$. 1. **Дијаграм 1 (Горњи леви): Није 1-1 и није 'на'.** - Скуп А садржи три елемента: $a_1, a_2, a_3$. - Скуп Б садржи три елемента: $b_1, b_2, b_3$. - Пресликавања су следећа: - Стрелица од $a_1$ ка $b_1$. - Стрелица од $a_2$ ка $b_2$. - Стрелица од $a_3$ ка $b_2$. (Ово показује да функција није 1-1, јер два различита елемента домена, $a_2$ и $a_3$, показују на исти елемент кодомена, $b_2$). - Елемент $b_3$ у кодомену Б нема ниједну долазну стрелицу. (Ово показује да функција није 'на'). - Изнад овог дијаграма стоји текстуална ознака: 'Није 1-1 и није 'на''. 2. **Дијаграм 2 (Горњи десни): Није 1-1, али јесте 'на'.** - Скуп А садржи три елемента: $a_1, a_2, a_3$. - Скуп Б садржи два елемента: $b_1, b_2$. - Пресликавања су следећа: - Стрелица од $a_1$ ка $b_1$. - Стрелица од $a_2$ ка $b_2$. - Стрелица од $a_3$ ка $b_1$. (Ово показује да функција није 1-1, јер $a_1$ и $a_3$ показују на исти елемент $b_1$). - Сви елементи у кодомену Б ($b_1$ и $b_2$) имају барем једну долазну стрелицу. (Ово показује да функција јесте 'на'). - Изнад овог дијаграма стоји текстуална ознака: 'Није 1-1, али јесте 'на''. 3. **Дијаграм 3 (Доњи леви): Јесте 1-1, али није 'на'.** - Скуп А садржи три елемента: $a_1, a_2, a_3$. - Скуп Б садржи четири елемента: $b_1, b_2, b_3, b_4$. - Пресликавања су следећа: - Стрелица од $a_1$ ка $b_1$. - Стрелица од $a_2$ ка $b_2$. - Стрелица од $a_3$ ка $b_3$. (Сваки елемент из домена А показује на јединствени елемент у кодомену Б, што показује да функција јесте 1-1). - Елемент $b_4$ у кодомену Б нема ниједну долазну стрелицу. (Ово показује да функција није 'на'). - Изнад овог дијаграма стоји текстуална ознака: 'Јесте 1-1, али није 'на''. 4. **Дијаграм 4 (Доњи десни): Бијекција.** - Скуп А садржи три елемента: $a_1, a_2, a_3$. - Скуп Б садржи три елемента: $b_1, b_2, b_3$. - Пресликавања су следећа: - Стрелица од $a_1$ ка $b_1$. - Стрелица од $a_2$ ка $b_2$. - Стрелица од $a_3$ ка $b_3$. (Сваки елемент из домена А је повезан са тачно једним јединственим елементом кодомена Б, и сваки елемент у кодомену Б има тачно једну долазну стрелицу. Ово показује да функција јесте и 1-1 и 'на'). - Изнад овог дијаграма стоји текстуална ознака: 'Бијекција'.$

Да би функција имала своју инверзну функцију, она мора бити бијекција (и 1-1 и на).

Ако је $ f: A \to B $ бијекција, постоји инверзна функција $ f^{-1}: B \to A $ таква да важи: \[ f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{и} \quad f(f^{-1}(y)) = y \]

Ако функција $ f $ сваком броју додаје 2 ($ f(x) = x + 2 $), њена инверзна функција $ f^{-1} $ ће сваком броју одузимати 2 ($ f^{-1}(x) = x - 2 $).

Задаци за вежбање

Лак: Дат је скуп парова $ f = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4)\} $. Одреди домен и кодомен ове функције, као и вредност $ f(2) $.

Прве координате чине домен, а друге кодомен (односно скуп слика).
Домен $ A = \{1, 2, 3\} $.
Кодомен $ B = \{2, 3, 4\} $.
Вредност функције за $ x = 2 $ је друга координата пара чија је прва координата 2, дакле $ f(2) = 3 $.

Средњи: Дате су функције $ f(x) = -2x + 1 $ и $ g(x) = 3x + 1 $. Одреди експлицитни израз за композицију $ (f \circ g)(x) $.

Према дефиницији: $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $.
У израз за $ f $ уместо $ x $ убацујемо целу функцију $ g(x) $:
$ f(3x + 1) = -2(3x + 1) + 1 $
$ = -6x - 2 + 1 $
$ = -6x - 1 $
Одговор: $ (f \circ g)(x) = -6x - 1 $.

Тежак: За функцију $ f(x) = 2x - 4 $ одреди њену инверзну функцију $ f^{-1}(x) $.

1. Запишемо функцију у облику једначине: $ y = 2x - 4 $.
2. Изразимо $ x $ преко $ y $:
$ 2x = y + 4 $
$ x = \frac{y + 4}{2} $
3. Заменимо места променљивама $ x $ и $ y $ да бисмо добили инверзну функцију у стандардном запису:
$ y = \frac{x + 4}{2} $
Одговор: $ f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{2} $.

7. Функције

Изабери решење задатка:

Одређивање \(f \circ g\)

Одређивање \(g \circ f\)

Одређивање \(f \circ f\)

Одређивање \(g \circ g\)

Одређивање \((f \circ f) \circ f\)

Композиција функција

Одређивање композиције \( f \circ g \)

Одређивање композиције \( g \circ f \)

Одређивање композиције \( f \circ f \)

Одређивање композиције \( g \circ g \)

Одређивање композиције \( (f \circ f) \circ f \)

Кратак запис решења:

Одређивање \(f \circ g\)

Одређивање \(g \circ f\)

Одређивање \(f \circ f\)

Одређивање \(g \circ g\)

Одређивање \((f \circ f) \circ f\)

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Одређивање \(f \circ g\)

Одређивање \(g \circ f\)

Одређивање \(f \circ f\)

Одређивање \(g \circ g\)

Одређивање \((f \circ f) \circ f\)

Детаљно решење

Композиција функција

Одређивање композиције \( f \circ g \)

Одређивање композиције \( g \circ f \)

Одређивање композиције \( f \circ f \)

Одређивање композиције \( g \circ g \)

Одређивање композиције \( (f \circ f) \circ f \)

Кратак запис решења:

Одређивање \(f \circ g\)

Одређивање \(g \circ f\)

Одређивање \(f \circ f\)

Одређивање \(g \circ g\)

Одређивање \((f \circ f) \circ f\)

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: