Најважније из лекције
Општи облик и решење: Систем линеарних једначина чине једначине које се решавају истовремено. Решење је уређен пар (или торка) бројева који чини све једначине тачним.
Методе: Системи се најчешће решавају методом замене или методом супротних коефицијената. Циљ је увек превођење на једначину са једном непознатом еквивалентним трансформацијама.
Број решења: Сваки систем линеарних једначина може бити одређен (јединствено решење), неодређен (бесконачно много решења) или немогућ (нема решења).
Параметри: Присуство параметра у систему мења број решења, због чега се ради дискусија по случајевима у зависности од вредности параметра.
Методе: Системи се најчешће решавају методом замене или методом супротних коефицијената. Циљ је увек превођење на једначину са једном непознатом еквивалентним трансформацијама.
Број решења: Сваки систем линеарних једначина може бити одређен (јединствено решење), неодређен (бесконачно много решења) или немогућ (нема решења).
Параметри: Присуство параметра у систему мења број решења, због чега се ради дискусија по случајевима у зависности од вредности параметра.
Систем две линеарне једначине са две непознате састоји се од две једначине које треба да буду задовољене истовремено.
Општи облик система:
\[ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \]
где су \( a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2 \) задати реални бројеви, а \( x \) и \( y \) непознате.
Решење система је сваки уређен пар бројева \( (x_0, y_0) \) који, када се у једначинама система \( x \) и \( y \) замене тим бројевима, даје тачне бројне једнакости у обема једначинама.
Основна идеја при решавању система јесте да се дозвољеним трансформацијама он преведе у систем у коме једна једначина има само једну непознату. Ове методе произилазе из опште Гаусове методе.
Метода замене: Из једне једначине система се „изрази” једна непозната (на пример, \( x \) преко \( y \)) и тај израз се замени у другу једначину, чиме она постаје једначина са једном непознатом.
Метода супротних коефицијената: Лева и десна страна једне или обе једначине се множе погодним бројевима (различитим од нуле) како би коефицијенти уз исту непознату постали супротни бројеви. Након тога се леве и десне стране једначина саберу, чиме се та непозната елиминише.
Којим бројем бисте помножили прву једначину система \( \begin{cases} x - 2y = 4 \\ 3x + y = 5 \end{cases} \) да бисте елиминисали непознату \( x \) сабирањем са другом једначином?
Да би се \( x \) елиминисало сабирањем са \( 3x \) из друге једначине, потребно је да уз \( x \) у првој једначини стоји супротан коефицијент, односно \( -3 \). Зато прву једначину треба помножити бројем -3.
Два система су еквивалентна ако је свако решење једног система уједно и решење другог.
Решавање система се заснива на еквивалентним трансформацијама. Једна од најважнијих трансформација дата је следећим тврђењем:
Ако је \( c \) неки реалан број и \( L_1, D_1, L_2, D_2 \) су изрази, онда важи:
\[ L_1 = D_1 \land L_2 = D_2 \iff L_1 = D_1 \land L_2 + c \cdot L_1 = D_2 + c \cdot D_1 \]
Ово правило нам гарантује да једној једначини можемо додати другу једначину помножену неким бројем, а да решења новог система остану потпуно иста као решења почетног.
За сваки систем од две линеарне једначине са две непознате важи тачно једна од следеће три могућности у вези са бројем решења:
- Систем има тачно једно решење и тада кажемо да је он одређен. Графички, то је пресек две праве у једној тачки.
- Систем има бесконачно много решења и тада кажемо да је неодређен. Графички, праве се поклапају.
- Систем нема решења и тада кажемо да је немогућ. Графички, праве су паралелне и немају заједничких тачака.
Системи са три непознате: Решавају се коришћењем истих еквивалентних трансформација као и системи са две непознате (своде се на једноставнији облик елиминацијом непознатих).
Системи са параметрима: У једначинама се осим непознатих (нпр. \( x, y \)) појављује и параметар (обично слово \( a \)). Природа система и број решења тада зависе од конкретне вредности параметра.
При решавању параметарског система врши се дискусија. На пример, након трансформација можемо закључити следеће:
- Ако је \( a \neq 1 \) и \( a \neq -1 \), систем има јединствено решење (одређен).
- Ако је \( a = 1 \), систем има бесконачно много решења (неодређен).
- Ако је \( a = -1 \), систем нема решења (немогућ).
Задаци за вежбање
Лак: Проверите да ли је уређен пар \( (3, 2) \) решење система једначина:
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases} \]
Замењујемо \( x = 3 \) и \( y = 2 \) у обе једначине:
Прва једначина: \( 3 + 2 = 5 \) (тачно)
Друга једначина: \( 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4 \) (тачно)
Одговор: Пошто уређен пар задовољава обе једначине, он јесте решење система.
Прва једначина: \( 3 + 2 = 5 \) (тачно)
Друга једначина: \( 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4 \) (тачно)
Одговор: Пошто уређен пар задовољава обе једначине, он јесте решење система.
Средњи: Решите следећи систем методом супротних коефицијената:
\[ \begin{cases} 4x + y = 9 \\ 2x - y = 3 \end{cases} \]
Пошто су коефицијенти уз непознату \( y \) већ супротни (\( +1 \) и \( -1 \)), можемо одмах сабрати леве и десне стране једначина:
\( (4x + y) + (2x - y) = 9 + 3 \)
\( 6x = 12 \implies x = 2 \)
Сада замењујемо израчунато \( x = 2 \) у прву једначину (може и у другу):
\( 4 \cdot 2 + y = 9 \implies 8 + y = 9 \implies y = 1 \)
Одговор: Решење система је уређен пар \( (2, 1) \).
\( (4x + y) + (2x - y) = 9 + 3 \)
\( 6x = 12 \implies x = 2 \)
Сада замењујемо израчунато \( x = 2 \) у прву једначину (може и у другу):
\( 4 \cdot 2 + y = 9 \implies 8 + y = 9 \implies y = 1 \)
Одговор: Решење система је уређен пар \( (2, 1) \).
Тежак: Нека је дат систем једначина са параметром \( a \):
\[ \begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + 2y = a \end{cases} \]
За коју вредност параметра \( a \) је систем неодређен (има бесконачно много решења), а за које вредности је немогућ?
Да бисмо упоредили једначине, можемо прву једначину помножити са 2. Систем постаје:
\[ \begin{cases} 2x + 2y = 8 \\ 2x + 2y = a \end{cases} \]
Леве стране једначина су сада потпуно исте.
1. Ако је \( a = 8 \), тада су и десне стране исте, па се све своди на једну једначину (\( 2x + 2y = 8 \)) и систем има бесконачно много решења (неодређен).
2. Ако је \( a \neq 8 \) (нпр. \( a = 5 \)), долазимо до математичке контрадикције јер исти израз не може бити једнак различитим бројевима. Тада систем нема решења (немогућ).
1. Ако је \( a = 8 \), тада су и десне стране исте, па се све своди на једну једначину (\( 2x + 2y = 8 \)) и систем има бесконачно много решења (неодређен).
2. Ако је \( a \neq 8 \) (нпр. \( a = 5 \)), долазимо до математичке контрадикције јер исти израз не може бити једнак различитим бројевима. Тада систем нема решења (немогућ).
