Најважније из лекције
Кључне формуле:
• \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) (Основни идентитет)
• \( \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) и \( \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
• \( \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1 \) (Међусобно су реципрочни)
• Комплементарни углови: Функција угла \( \alpha \) једнака је одговарајућој "ко-функцији" угла \( 90^\circ - \alpha \) (нпр. \( \sin 20^\circ = \cos 70^\circ \)).
• \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) (Основни идентитет)
• \( \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) и \( \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
• \( \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1 \) (Међусобно су реципрочни)
• Комплементарни углови: Функција угла \( \alpha \) једнака је одговарајућој "ко-функцији" угла \( 90^\circ - \alpha \) (нпр. \( \sin 20^\circ = \cos 70^\circ \)).
За сваки оштар угао \( \alpha \) постоје основне једнакости (идентитети) које повезују његове тригонометријске функције. Захваљујући њима, ако знамо вредност једне функције, можемо израчунати све остале.
1. Основна тригонометријска једнакост:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
2. Веза између тангенса и котангенса:
\[ \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1 \]
3. Тангенс преко синуса и косинуса:
\[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]
4. Котангенс преко синуса и косинуса:
\[ \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]
Ако је \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \), израчунај \( \sin \alpha \).
Користимо основну једнакост: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
\( \sin^2 \alpha + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \)
\( \sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 \)
\( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \)
Пошто је \( \alpha \) оштар угао, синус је позитиван: \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \).
\( \sin^2 \alpha + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \)
\( \sin^2 \alpha + \frac{16}{25} = 1 \)
\( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \)
Пошто је \( \alpha \) оштар угао, синус је позитиван: \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \).
Користећи основне идентитете, можемо извести формуле којима се свака тригонометријска функција изражава преко било које друге.
| Одреди ако је дато | \( \sin \alpha \) | \( \cos \alpha \) | \( \text{tg } \alpha \) | \( \text{ctg } \alpha \) |
|---|---|---|---|---|
| \( \sin \alpha \) | \( \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \) | \( \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}} \) | \( \frac{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}{\sin \alpha} \) | |
| \( \cos \alpha \) | \( \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \) | \( \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha} \) | \( \frac{\cos \alpha}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}} \) | |
| \( \text{tg } \alpha \) | \( \frac{\text{tg } \alpha}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} \) | \( \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} \) | \( \frac{1}{\text{tg } \alpha} \) | |
| \( \text{ctg } \alpha \) | \( \frac{1}{\sqrt{1 + \text{ctg}^2 \alpha}} \) | \( \frac{\text{ctg } \alpha}{\sqrt{1 + \text{ctg}^2 \alpha}} \) | \( \frac{1}{\text{ctg } \alpha} \) |
Ако је дато \( \text{tg } \alpha = \frac{12}{5} \) (односно \( 2,4 \)), можемо пронаћи остале вредности:
1. \( \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12} \)
2. \( \sin \alpha = \frac{\text{tg } \alpha}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = \frac{\frac{12}{5}}{\sqrt{1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2}} = \frac{\frac{12}{5}}{\sqrt{\frac{169}{25}}} = \frac{\frac{12}{5}}{\frac{13}{5}} = \frac{12}{13} \)
3. \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = \frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13} \)
1. \( \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12} \)
2. \( \sin \alpha = \frac{\text{tg } \alpha}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = \frac{\frac{12}{5}}{\sqrt{1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2}} = \frac{\frac{12}{5}}{\sqrt{\frac{169}{25}}} = \frac{\frac{12}{5}}{\frac{13}{5}} = \frac{12}{13} \)
3. \( \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} = \frac{1}{\frac{13}{5}} = \frac{5}{13} \)
Два оштра угла правоуглог троугла, \( \alpha \) и \( \beta \), су комплементарна, што значи да је њихов збир \( 90^\circ \) (односно \( \beta = 90^\circ - \alpha \)). Због односа наспрамних и налеглих катета, функције једног угла прелазе у "ко-функције" другог.
За сваки оштар угао \( \alpha \) важи:
- \( \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha \)
- \( \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha \)
- \( \text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg } \alpha \)
- \( \text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg } \alpha \)
Ако знамо да је \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), онда аутоматски знамо и вредност косинуса комплементарног угла (\( 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)):
\( \cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).
\( \cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).
Задаци за вежбање
Лак: Ако је \( \sin \alpha = 0,6 \), израчунај \( \cos \alpha \) за оштар угао \( \alpha \).
Користимо формулу \( \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \).
\( \cos \alpha = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8 \).
Одговор: \( \cos \alpha = 0,8 \).
\( \cos \alpha = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8 \).
Одговор: \( \cos \alpha = 0,8 \).
Средњи: Упрости израз: \( \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha} + \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha \).
Из основне једнакости \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) следи да је \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).
Из друге основне једнакости знамо да је \( \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1 \).
Замењујемо у израз:
\( \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha} + 1 = \sin \alpha + 1 \).
Одговор: \( \sin \alpha + 1 \).
Из друге основне једнакости знамо да је \( \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1 \).
Замењујемо у израз:
\( \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha} + 1 = \sin \alpha + 1 \).
Одговор: \( \sin \alpha + 1 \).
Тежак: Ако је \( \text{tg } \alpha = 3 \), израчунај вредност израза \( \frac{2\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \).
Начин 1 (без рачунања синуса и косинуса појединачно):
Поделимо и бројилац и именилац разломка са \( \cos \alpha \):
\( \frac{\frac{2\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{2\text{tg } \alpha - 1}{\text{tg } \alpha + 1} \)
Убацимо познату вредност \( \text{tg } \alpha = 3 \):
\( \frac{2 \cdot 3 - 1}{3 + 1} = \frac{6 - 1}{4} = \frac{5}{4} \).
Одговор: \( \frac{5}{4} \).
\( \frac{\frac{2\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{2\text{tg } \alpha - 1}{\text{tg } \alpha + 1} \)
Убацимо познату вредност \( \text{tg } \alpha = 3 \):
\( \frac{2 \cdot 3 - 1}{3 + 1} = \frac{6 - 1}{4} = \frac{5}{4} \).
Одговор: \( \frac{5}{4} \).
