Најважније из лекције
Вредности тригонометријских функција за карактеристичне углове (\( 30^\circ \), \( 45^\circ \), \( 60^\circ \)) изводе се директно из геометријских својстава правоуглих троуглова и могу се запамтити помоћу таблице карактеристичних углова. Приликом дељења коренима, именилац се увек рационалише (нпр. \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)). За све остале углове користимо научни калкулатор (у DEG моду), при чему се вредност угла из функције добија коришћењем инверзних команди (\( \sin^{-1}, \cos^{-1}, \tan^{-1} \)), док се вредност котангенса рачуна преко реципрочне вредности тангенса.
Вредности тригонометријских функција за углове од \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \) изводе се помоћу правоуглог троугла чија је хипотенуза дужине 1.
Из односа страница овог троугла добијамо вредности за угао од \( 30^\circ \):
\[ \sin 30^\circ = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} \]
\[ \cos 30^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{tg } 30^\circ = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
\[ \text{ctg } 30^\circ = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \]
Користећи исти троугао и односе наспрамних и налеглех катета, изводе се и вредности за угао од \( 60^\circ \).
Ако се корен појави у имениоцу разломка, уобичајено је да се тај разломак рационалише тако што се бројилац и именилац помноже истим кореном.
\[ \frac{b}{\sqrt{a}} = \frac{b}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{b\sqrt{a}}{a} \]
Приликом рачунања тангенса од \( 30^\circ \) добија се разломак који се рационалише:
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
Вредности тригонометријских функција за угао од \( 45^\circ \) изводе се из једнакокрако-правоуглог троугла.
\[ \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \text{tg } 45^\circ = \frac{1}{1} = 1 \]
\[ \text{ctg } 45^\circ = \frac{1}{1} = 1 \]
Збирни приказ свих тачних вредности тригонометријских функција за карактеристичне оштре углове.
| tg | ctg | sin | cos | |
|---|---|---|---|---|
| \( 30^\circ \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( \sqrt{3} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) |
| \( 45^\circ \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) |
| \( 60^\circ \) | \( \sqrt{3} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) |
За углове који нису карактеристични (\( 30^\circ \), \( 45^\circ \), \( 60^\circ \)), користи се научни калкулатор.
Израчунавање вредности функције (нпр. \( \cos 58^\circ \)):
Подесити калкулатор да рачуна у степенима (користити тастере MOD, DEG или DRG).
Унети мерни број угла (нпр. 58).
Притиснути одговарајућу функцију (нпр. COS).
Одређивање угла на основу вредности (нпр. \( \cos \alpha = 0,53 \)):
Подесити калкулатор на степене.
Унети вредност функције (нпр. 0,53).
Активирати инверзну команду \( \cos^{-1} \) (обично преко INV + COS или 2ndF + COS) како би се добио угао у степенима.
Функција тангенс је означена са TAN. Функција котангенс најчешће не постоји на калкулатору, јер се она рачуна као реципрочна вредност тангенса (\( x \mapsto \frac{1}{x} \) од вредности тангенса).
Задаци за вежбање
Лак: Користећи таблицу, израчунај вредност израза: \( \text{tg } 45^\circ + \sin 30^\circ \).
Из таблице видимо да је:
\( \text{tg } 45^\circ = 1 \)
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
Заменом у израз добијамо: \[ 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]
\( \text{tg } 45^\circ = 1 \)
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
Заменом у израз добијамо: \[ 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]
Средњи: Израчунај вредност израза: \( \cos 60^\circ \cdot \sin 60^\circ \).
Из таблице видимо да је:
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Множењем ових вредности добијамо: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \]
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Множењем ових вредности добијамо: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \]
Тежак: Како бисте помоћу калкулатора израчунали \( \text{ctg } 40^\circ \), с обзиром на то да калкулатор нема тастер за котангенс? Напиши редослед корака.
С обзиром да је котангенс реципрочна вредност тангенса (\( \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} \)), поступак је следећи:
1. Подесимо калкулатор на степене (DEG).
2. Унесемо угао 40 и притиснемо тастер TAN да добијемо \( \text{tg } 40^\circ \).
3. Над добијеним резултатом применимо функцију реципрочне вредности (тастер \( 1/x \) или \( x^{-1} \)). Резултат на екрану представља \( \text{ctg } 40^\circ \).
1. Подесимо калкулатор на степене (DEG).
2. Унесемо угао 40 и притиснемо тастер TAN да добијемо \( \text{tg } 40^\circ \).
3. Над добијеним резултатом применимо функцију реципрочне вредности (тастер \( 1/x \) или \( x^{-1} \)). Резултат на екрану представља \( \text{ctg } 40^\circ \).
