Најважније из лекције
- Паралелност: Објекти (праве, равни) су паралелни ако немају заједничких тачака. Праве у простору без заједничких тачака су паралелне ако су у истој равни, а мимоилазне ако нису.
- Аксиома паралелности: Кроз тачку ван дате праве може се повући тачно једна права паралелна са датом правом.
- Својства: Релација паралелности је симетрична (\( a \parallel b \implies b \parallel a \)), транзитивна (\( a \parallel b \land b \parallel c \implies a \parallel c \)) и рефлексивна (\( a \parallel a \)).
- Важно правило: Права која у једној равни сече једну од две паралелне праве, обавезно сече и другу.
Паралелност је однос који може постојати између две равни, праве и равни, или две праве. Равни су паралелне уколико немају заједничких тачака. Права и раван су паралелне уколико немају ниједну заједничку тачку.
Ако две праве у простору немају заједничких тачака, постоје две могућности:
- Паралелне су уколико постоји раван којој обе припадају.
- Мимоилазне су уколико не постоји раван којој обе припадају.
Да ли сваке две праве које се не секу морају бити паралелне?
Не. У простору, две праве које немају заједничких тачака могу бити и мимоилазне (уколико не припадају истој равни).
За сваку праву \( p \) и тачку \( A \) која јој не припада постоји јединствена права \( q \) која је садржи и паралелна је са правом \( p \).
Ако тачка \( A \) не припада правој \( p \), права кроз \( A \) паралелна са \( p \) лежи у равни коју одређују тачка \( A \) и права \( p \). Све друге праве у тој равни које садрже \( A \) секу праву \( p \). Све праве које пролазе кроз \( A \), а не припадају тој равни, мимоилазне су са \( p \).
Колико правих које су паралелне са правом \( a \) можемо повући кроз тачку \( B \) која не припада правој \( a \)?
На основу аксиоме паралелности, кроз тачку \( B \) можемо повући тачно једну праву која је паралелна са правом \( a \).
Релација паралелности међу правама (и равнима) има следећа својства:
- Симетричност: Ако је \( p \parallel q \), онда је и \( q \parallel p \). (Важи и за равни: \( \alpha \parallel \beta \implies \beta \parallel \alpha \)).
- Транзитивност: Ако је \( p \parallel q \) и \( q \parallel r \), онда је и \( p \parallel r \). (Важи и за равни: \( \alpha \parallel \beta \land \beta \parallel \gamma \implies \alpha \parallel \gamma \)).
Да би паралелност била релација еквиваленције, дефиниција се проширује рефлексивношћу: свака права је паралелна са самом собом (\( a \parallel a \)), свака раван је паралелна са самом собом, и свака права која припада равни паралелна је тој равни.
Теорема 1: Нека су \( a, b \) и \( t \) три међусобно различите праве једне равни. Ако је \( a \parallel b \) и права \( t \) сече праву \( a \), онда \( t \) сече и праву \( b \).
Теорема 2: Нека су \( a, b \) и \( c \) три међусобно различите праве једне равни. Ако је \( a \parallel b \) и \( b \parallel c \), онда је \( a \parallel c \).
Две паралелне праве \( p \) и \( q \) се налазе у истој равни. Ако нацртамо праву \( m \) у тој равни која сече праву \( p \), шта можемо закључити о односу праве \( m \) и праве \( q \)?
На основу прве последице (Теореме 1), пошто права \( m \) сече праву \( p \) са којом је права \( q \) паралелна, права \( m \) мора сећи и праву \( q \).
Задаци за вежбање
Лак: Ако за три различите равни важи \( \alpha \parallel \beta \) и \( \gamma \parallel \beta \), какав је однос између равни \( \alpha \) и \( \gamma \)?
Због својства симетричности, из \( \gamma \parallel \beta \) следи \( \beta \parallel \gamma \). Затим, на основу транзитивности, из \( \alpha \parallel \beta \) и \( \beta \parallel \gamma \) следи да је \( \alpha \parallel \gamma \).
Средњи: Дате су три праве \( x, y \) и \( z \) које припадају истој равни. Ако важи \( x \parallel y \), а права \( z \) сече праву \( x \) у тачки \( M \), да ли је могуће да права \( z \) буде паралелна са правом \( y \)?
Није могуће. Ако би важило \( z \parallel y \), тада би кроз тачку \( M \) (која припада правој \( z \)) пролазиле две различите праве (\( x \) и \( z \)) које су обе паралелне са правом \( y \). То је у супротности са аксиомом паралелности. Према Теореми 1, права \( z \) мора сећи и праву \( y \).
Тежак: Нека је дата права \( a \) и тачка \( P \) ван ње. Кроз тачку \( P \) су повучене праве \( b \) и \( c \), тако да важи \( b \parallel a \). Какав је однос праве \( c \) и праве \( a \), ако знамо да се праве \( a, b \) и \( c \) налазе у истој равни?
Пошто праве \( b \) и \( c \) пролазе кроз исту тачку \( P \) и налазе се у истој равни, оне се секу у тој тачки (\( b \cap c = \{P\} \)). На основу аксиоме паралелности, кроз тачку \( P \) постоји само једна права паралелна са \( a \), а то је права \( b \). Зато права \( c \), као другачија права у истој равни, не може бити паралелна са \( a \), већ мора сећи праву \( a \).
