Нека су дате различите праве $ a $ и $ b $ које се секу. Докажи да свака права $ c $ која припада равни одређеној правама $ a $ и $ b $ сече бар једну од ове две праве. Упутство. Претпостави да права $ c $ не сече ни $ a $ ни $ b $.

Корак 1: Анализа поставке и дефинисање равни Нека су $ a $ и $ b $ две различите праве које се секу у тачки $ S $. Према теореми о одређености равни, две праве које се секу одређују јединствену раван $ \alpha $. У задатку је дата права $ c $ која такође припада тој равни ($ c \subset \alpha $). Желимо да докажемо да права $ c $ мора да сече или праву $ a $ или праву $ b $. Раван $\alpha$ представи као светлосиви паралелограм који визуелно обухвата цео цртеж. У њеном центру ј...

Паралелност

Најважније из лекције

Паралелност: Објекти (праве, равни) су паралелни ако немају заједничких тачака. Праве у простору без заједничких тачака су паралелне ако су у истој равни, а мимоилазне ако нису.
Аксиома паралелности: Кроз тачку ван дате праве може се повући тачно једна права паралелна са датом правом.
Својства: Релација паралелности је симетрична ($ a \parallel b \implies b \parallel a $), транзитивна ($ a \parallel b \land b \parallel c \implies a \parallel c $) и рефлексивна ($ a \parallel a $).
Важно правило: Права која у једној равни сече једну од две паралелне праве, обавезно сече и другу.

Паралелност је однос који може постојати између две равни, праве и равни, или две праве. Равни су паралелне уколико немају заједничких тачака. Права и раван су паралелне уколико немају ниједну заједничку тачку.

Ако две праве у простору немају заједничких тачака, постоје две могућности:

Паралелне су уколико постоји раван којој обе припадају.
Мимоилазне су уколико не постоји раван којој обе припадају.

Илустрација коцке са теменама A, B, C, D на доњој основи (постављене у смеру супротном казаљци на сату, почевши од предњег-доњег-левог темена) и A', B', C', D' на горњој основи (директно изнад одговарајућих темена), постављене у стандардној 3D перспективи са видљивом предњом, горњом и десном страном. Скривене ивице коцке (AD, CD, DD', A'D', C'D') су приказане испрекиданим линијама. На цртежу се јасно приказују:
* Две паралелне ивице (AB и CD) које припадају истој, доњој страни коцке (ABCD), обојене црвеном бојом.
* Две мимоилазне ивице (BC и AA') које се не секу и не припадају истој равни, обојене плавом бојом.
* Права A'B' (са горње стране A'B'C'D'), обојена зеленом бојом, која је паралелна са доњом равни ABCD. Раван ABCD је обојена светлосивом провидном бојом.
* Две међусобно паралелне равни: доња раван ABCD (обојена светлосивом провидном бојом) и горња раван A'B'C'D' (обојена светложутом провидном бојом).

Да ли сваке две праве које се не секу морају бити паралелне?

Не. У простору, две праве које немају заједничких тачака могу бити и мимоилазне (уколико не припадају истој равни).

За сваку праву $ p $ и тачку $ A $ која јој не припада постоји јединствена права $ q $ која је садржи и паралелна је са правом $ p $.

Ако тачка $ A $ не припада правој $ p $, права кроз $ A $ паралелна са $ p $ лежи у равни коју одређују тачка $ A $ и права $ p $. Све друге праве у тој равни које садрже $ A $ секу праву $ p $. Све праве које пролазе кроз $ A $, а не припадају тој равни, мимоилазне су са $ p $.

$Нацртати раван $\alpha$ (представљену светлом, провидном правоугаоном површином) у 3D перспективи. У овој равни $\alpha$, поставити хоризонталну праву $p$. Поставити тачку $A$ изнад праве $p$ у истој равни $\alpha$. Кроз тачку $A$ повући следеће праве: 1. Једну праву $q$ која је паралелна са правом $p$. Права $q$ лежи у равни $\alpha$. 2. Две праве $s_1$ и $s_2$ које секу праву $p$. Праве $s_1$ и $s_2$ леже у равни $\alpha$. Означити тачке пресека $S_1$ (праве $s_1$ и $p$) и $S_2$ (праве $s_2$ и $p$) на правој $p$. 3. Две праве $m_1$ и $m_2$ које су мимоилазне са правом $p$. Ове праве пролазе кроз тачку $A$ али *не* леже у равни $\alpha$. Део ових правих који пролази 'изнад' равни $\alpha$ треба приказати пуном линијом, а део који пролази 'испод' или 'иза' равни $\alpha$ испрекиданом линијом, да би се нагласила њихова 3D природа и то да излазе из равни.$

Колико правих које су паралелне са правом $ a $ можемо повући кроз тачку $ B $ која не припада правој $ a $?

На основу аксиоме паралелности, кроз тачку $ B $ можемо повући тачно једну праву која је паралелна са правом $ a $.

Релација паралелности међу правама (и равнима) има следећа својства:

Симетричност: Ако је $ p \parallel q $, онда је и $ q \parallel p $. (Важи и за равни: $ \alpha \parallel \beta \implies \beta \parallel \alpha $).
Транзитивност: Ако је $ p \parallel q $ и $ q \parallel r $, онда је и $ p \parallel r $. (Важи и за равни: $ \alpha \parallel \beta \land \beta \parallel \gamma \implies \alpha \parallel \gamma $).

Да би паралелност била релација еквиваленције, дефиниција се проширује рефлексивношћу: свака права је паралелна са самом собом ($ a \parallel a $), свака раван је паралелна са самом собом, и свака права која припада равни паралелна је тој равни.

Теорема 1: Нека су $ a, b $ и $ t $ три међусобно различите праве једне равни. Ако је $ a \parallel b $ и права $ t $ сече праву $ a $, онда $ t $ сече и праву $ b $.

Теорема 2: Нека су $ a, b $ и $ c $ три међусобно различите праве једне равни. Ако је $ a \parallel b $ и $ b \parallel c $, онда је $ a \parallel c $.

Две паралелне праве $ p $ и $ q $ се налазе у истој равни. Ако нацртамо праву $ m $ у тој равни која сече праву $ p $, шта можемо закључити о односу праве $ m $ и праве $ q $?

На основу прве последице (Теореме 1), пошто права $ m $ сече праву $ p $ са којом је права $ q $ паралелна, права $ m $ мора сећи и праву $ q $.

Задаци за вежбање

Лак: Ако за три различите равни важи $ \alpha \parallel \beta $ и $ \gamma \parallel \beta $, какав је однос између равни $ \alpha $ и $ \gamma $?

Због својства симетричности, из $ \gamma \parallel \beta $ следи $ \beta \parallel \gamma $. Затим, на основу транзитивности, из $ \alpha \parallel \beta $ и $ \beta \parallel \gamma $ следи да је $ \alpha \parallel \gamma $.

Средњи: Дате су три праве $ x, y $ и $ z $ које припадају истој равни. Ако важи $ x \parallel y $, а права $ z $ сече праву $ x $ у тачки $ M $, да ли је могуће да права $ z $ буде паралелна са правом $ y $?

Није могуће. Ако би важило $ z \parallel y $, тада би кроз тачку $ M $ (која припада правој $ z $) пролазиле две различите праве ($ x $ и $ z $) које су обе паралелне са правом $ y $. То је у супротности са аксиомом паралелности. Према Теореми 1, права $ z $ мора сећи и праву $ y $.

Тежак: Нека је дата права $ a $ и тачка $ P $ ван ње. Кроз тачку $ P $ су повучене праве $ b $ и $ c $, тако да важи $ b \parallel a $. Какав је однос праве $ c $ и праве $ a $, ако знамо да се праве $ a, b $ и $ c $ налазе у истој равни?

Пошто праве $ b $ и $ c $ пролазе кроз исту тачку $ P $ и налазе се у истој равни, оне се секу у тој тачки ($ b \cap c = \{P\} $). На основу аксиоме паралелности, кроз тачку $ P $ постоји само једна права паралелна са $ a $, а то је права $ b $. Зато права $ c $, као другачија права у истој равни, не може бити паралелна са $ a $, већ мора сећи праву $ a $.

22. Паралелност

Изабери решење задатка:

Корак 1: Анализа поставке и дефинисање равни

Корак 2: Метода претпоставке супротног (свођење на противречност)

Корак 3: Примена својства транзитивности паралелности

Корак 4: Извођење противречности и закључак

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

Детаљно решење

Корак 1: Анализа поставке и дефинисање равни

Корак 2: Метода претпоставке супротног (свођење на противречност)

Корак 3: Примена својства транзитивности паралелности

Корак 4: Извођење противречности и закључак

Кратак запис решења:

Задаци за вежбање

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: