3.3. Својства Дељивости

Корак 1: Анализа услова задатка

Задатак тражи да одредимо све природне бројеве \( n \) тако да је разлика \( 44 - n \) дељива са \( 5 \). У скупу природних бројева (\( \mathbb{N} \)), разлика \( 44 - n \) мора бити већа од нуле, што значи да \( n \) мора бити мањи од \( 44 \). Такође, пошто је нула дељива сваким природним бројем, разлика може бити и \( 0 \) (тада је \( n = 44 \)).

Корак 2: Одређивање садржалаца броја 5

Разлика \( 44 - n \) мора бити неки од садржалаца броја \( 5 \) који су мањи од или једнаки \( 44 \). Ти бројеви су: \[ 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 \]

Корак 3: Решавање једначина за сваки садржалац

Да бисмо нашли \( n \), поставићемо једначине за сваки могући резултат одузимања:

• \( 44 - n = 0 \implies n = 44 - 0 = 44 \)
• \( 44 - n = 5 \implies n = 44 - 5 = 39 \)
• \( 44 - n = 10 \implies n = 44 - 10 = 34 \)
• \( 44 - n = 15 \implies n = 44 - 15 = 29 \)
• \( 44 - n = 20 \implies n = 44 - 20 = 24 \)
• \( 44 - n = 25 \implies n = 44 - 25 = 19 \)
• \( 44 - n = 30 \implies n = 44 - 30 = 14 \)
• \( 44 - n = 35 \implies n = 44 - 35 = 9 \)
• \( 44 - n = 40 \implies n = 44 - 40 = 4 \)

Корак 4: Провера и закључак

Сви добијени бројеви (\( 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44 \)) су природни бројеви. Приметимо да се сваки следећи број разликује за \( 5 \), што је логично јер је и делилац \( 5 \). Такође, сви ови бројеви при дељењу са \( 5 \) дају исти остатак као и број \( 44 \) (остатак је \( 4 \)), што је основно својство дељивости разлике.

\( 44 - n \in \{0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40\} \) \( n \in \{44-0, 44-5, 44-10, 44-15, 44-20, 44-25, 44-30, 44-35, 44-40\} \) \( n \in \{4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44\} \)