7.4. Конструкција Нормале

Корак 1: Избор тачке на једној од правих

Нацртај две дуге, хоризонталне паралелне праве. Доња права је означена као \( a \), а горња права као \( b \), раздвојене значајним вертикалним растојањем. На правој \( a \) постави тачку \( M \) приближно на средини. Затим прикажи следеће визуелне кораке конструкције нормале кроз тачку \( M \) на праву \( a \) помоћу шестара: 1. Нацртај два симетрична, танка, испрекидана кружна лука, центрирана у тачки \( M \), који пресецају праву \( a \) у тачкама \( X \) (лево од \( M \)) и \( Y \) (десно од \( M \)). Ови лукови представљају почетни потез шестара. 2. Нацртај два додатна танка, испрекидана кружна лука: један центриран у тачки \( X \) и други центриран у тачки \( Y \), оба са истим полупречником који је приметно већи од дужине \( MX \). Ови лукови треба да се секу у тачки \( D \) која се налази изнад праве \( a \). 3. Повуци пуну, вертикалну праву \( n \) кроз тачке \( M \) и \( D \). Продужи праву \( n \) нагоре тако да пресече праву \( b \) у тачки \( N \). 4. На крају, додај симболе за прави угао (мале квадратиће) у пресецима праве \( n \) са правом \( a \) (код тачке \( M \)) и са правом \( b \) (код тачке \( N \)). Да бисмо почели конструкцију, прво морамо изабрати тачку кроз коју ће пролазити наша заједничка нормала. Најлакше је изабрати произвољну тачку \( P \) на правој \( a \). Из ове тачке ћемо конструисати нормалу.

Корак 2: Конструкција нормале на праву \( a \) у тачки \( P \)

Постави иглу шестара у тачку \( P \). Опиши два лука који секу праву \( a \) у тачкама \( B \) и \( C \) (са леве и десне стране тачке \( P \)). Затим из тачака \( B \) и \( C \) опиши два већа лука истог полупречника који се секу изнад праве \( a \) у тачки \( D \). Повуци праву \( n \) кроз тачке \( P \) и \( D \). Користимо поступак конструкције нормале у датој тачки праве. Прво одредимо две тачке \( B \) и \( C \) на правој \( a \) које су једнако удаљене од \( P \). Затим конструишемо тачку \( D \) која је подједнако удаљена од \( B \) и \( C \). Права \( n \) која пролази кроз \( P \) и \( D \) је нормална на праву \( a \).

Корак 3: Доказивање да је права \( n \) нормална и на праву \( b \)

Пошто су праве \( a \) и \( b \) паралелне (\( a \parallel b \)), према особинама паралелних правих и нормалности, свака права која је нормална на једну од две паралелне праве мора бити нормална и на другу. Дакле, пошто смо конструисали \( n \perp a \), аутоматски важи и \( n \perp b \). Тачка пресека праве \( n \) са правом \( b \) је подножје нормале на тој правој.

Закључак

Права \( n \) је тражена заједничка нормала за праве \( a \) и \( b \).

\( a \parallel b \), \( P \in a \). Конструишемо \( n \perp a \) у \( P \): \( k(P, r) \cap a = \{B, C\} \), \( k_1(B, r_1) \cap k_2(C, r_1) = \{D\} \), \( n = Op(P, D) \). Пошто је \( a \parallel b \) и \( n \perp a \), следи \( n \perp b \). \( n \) је заједничка нормала.