Да ли је могуће конструисати \(\Delta ABC\) ако је: а) \(CA = 6\text{ cm}\), \(AB = 4\text{ cm}\) и \(\angle BAC = 210^\circ\); б) \(BC = 5\text{ cm}\), \(AB = 3\text{ cm}\) и \(\angle CAB = 240^\circ\)?

а) \(CA = 6\text{ cm}\), \(AB = 4\text{ cm}\) и \(\angle BAC = 210^\circ\) Анализа У овом случају дате су две странице (\(b = 6\text{ cm}\) и \(c = 4\text{ cm}\)) и угао између њих (\(\alpha = 210^\circ\)). Да бисмо утврдили да ли је могуће конструисати троугао, морамо размотрити особине унутрашњих углова троугла. Познато је да је збир свих унутрашњих углова у троуглу тачно \(180^\circ\). Из овога произилази да сваки појединачни унутрашњи угао мора бити мањи од \(180^\circ\). Закључак Како је...

Никола је извео три корака конструкције који су приказани на слици 1.1. Која је то конструкција троугла? а) СУС конструкција троугла. б) УСУ конструкција троугла. в) ССС конструкција троугла. г) ССУ конструкција троугла.

Да бисмо одредили о којој се конструкцији ради, пажљиво ћемо анализирати кораке приказане на слици 1.1: Корак 1 На првом цртежу видимо дуж \( BC \) чија је дужина \( 3 \text{ cm} \). Ово представља једну страницу троугла. Пошто су тачке \( B \) и \( C \) већ одређене, ово је почетни елемент конструкције. Корак 2 На другом цртежу видимо да је из темена \( B \) конструисан угао од \( 30^\circ \). Овај угао лежи на страници \( BC \). Дакле, поред странице, сада имамо и један угао који належе на т...

а) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица дужине \(4\text{ cm}\), а угао на основици има меру \(45^\circ\). б) Конструиши правоугли троугао чија је хипотенуза дужине \(5\text{ cm}\), а једна катета дужине \(4\text{ cm}\).

а) Анализа и конструкција једнакокраког троугла Једнакокраки троугао има два једнака угла на основици. Ако је дата основица \( c = 4\text{ cm} \) и угао на основици \( \alpha = 45^\circ \), онда је и други угао на основици \( \beta = 45^\circ \). За ову конструкцију користићемо став УСУ (угао-страница-угао). Корак 1.1: Цртање датих елемената Нацртаћемо дуж \( c = 4\text{ cm} \) и угао од \( 45^\circ \). Угао од \( 45^\circ \) добијамо тако што конструишемо прави угао (\( 90^\circ \)) и затим ње...

Конструиши фигуру која је приказана на слици 1.2.

**Анализа фигуре (слика 1.2).** Фигура се састоји од четири троугла који имају заједничку тачку \(E\) и заједничку страницу \(AC\). Са слике очитавам дате елементе: \(AE = EC = 3\) cm, \(AF = CD = 4\) cm, угао између средишњих дужи \(\angle AEC = 120^\circ\), прави углови означени код \(E\): \(\angle AEF = \angle DEC = 90^\circ\), те углови на дну \(\angle BAC = 75^\circ\) и \(\angle BCA = 30^\circ\). Фигуру конструишем сукцесивно, троугао по троугао. **Корак 1 — троугао \(\triangle AEC\) (СУС...

Основне Конструкције Троуглова

Изабери решење задатка:

а) Једнакостранични троугао \( a = 3\text{ cm} \)
Користимо став ССС:
\[ a = b = c = 3\text{ cm} \]
Конструкција:
1. Нацртамо дуж \( AB = 3\text{ cm} \).
2. Опишемо кружни лук \( k_1(A, 3\text{ cm}) \).
3. Опишемо кружни лук \( k_2(B, 3\text{ cm}) \).
4. Тачка \( C \) је пресек лукова: \( \{C\} = k_1 \cap k_2 \).
5. Спојимо \( AC \) и \( BC \).


б) Правоугли троугао \( a = 3\text{ cm}, b = 4\text{ cm} \)
Користимо став СУС са углом \( \gamma = 90^\circ \):
\[ a = 3\text{ cm}, \gamma = 90^\circ, b = 4\text{ cm} \]
Конструкција:
1. Нацртамо прави угао код темена \( C \).
2. На један крак нанесемо \( CB = 3\text{ cm} \).
3. На други крак нанесемо \( CA = 4\text{ cm} \).
4. Спојимо темена \( A \) и \( B \).

а) Анализа и конструкција једнакостраничног троугла
Једнакостранични троугао има све три странице једнаке дужине. Како је дата страница \( a = 3\text{ cm} \), користићемо став ССС (страница-страница-страница) за конструкцију.

Корак 1.1: Цртање дате дужи
Нацртаћемо дуж \( a = 3\text{ cm} \) коју ћемо користити као полупречник за отвор шестара.

Корак 1.2: Главна конструкција а)
1. Нацртаћемо полуправу са почетном тачком \( A \).
2. Шестаром измеримо дуж од \( 3\text{ cm} \), поставимо иглу у тачку \( A \) и пресечемо полуправу да добијемо теме \( B \).
3. Са истим отвором шестара (\( 3\text{ cm} \)), опишемо кружни лук са центром у тачки \( A \).
4. Затим, са истим отвором шестара, опишемо кружни лук са центром у тачки \( B \).
5. Пресек ова два лука је теме \( C \).
6. Спојимо тачке \( A, B \) и \( C \) лењиром.

Једнакостранични троугао ABC где су све странице AB, BC и CA једнаке 3 cm. Приказани су помоћни кружни лукови из темена A и B који се секу у темену C.

б) Анализа и конструкција правоуглог троугла
Правоугли троугао има један угао од \( 90^\circ \). Дате су катете \( a = 3\text{ cm} \) и \( b = 4\text{ cm} \). Пошто знамо две странице и угао између њих (прави угао), користићемо став СУС (страница-угао-страница).

Корак 2.1: Конструкција правог угла (\( 90^\circ \))
Прави угао конструишемо тако што прво нацртамо угао од \( 180^\circ \) (праву), а затим конструишемо његову симетралу. Алтернативно, можемо нацртати нормалу на полуправу у њеној почетној тачки.

Корак 2.2: Главна конструкција б)
1. Нацртаћемо полуправу са почетком у темену \( C \) (теме код правог угла).
2. У тачки \( C \) конструишемо нормалу (угао од \( 90^\circ \)).
3. На један крак угла шестаром нанесемо дужину катете \( a = 3\text{ cm} \) и означимо теме \( B \).
4. На други крак угла шестаром нанесемо дужину катете \( b = 4\text{ cm} \) и означимо теме \( A \).
5. Спојимо тачке \( A \) и \( B \) да бисмо добили хипотенузу \( c \).

Правоугли троугао ABC са правим углом код темена C. Хоризонтална катета CB износи 3 cm, а вертикална катета CA износи 4 cm. Тачке A и B су спојене.

Кратак запис решења:

а) ССС: \( a=b=c=3\text{ cm} \). Нацртамо \( AB=3\text{ cm} \), па из \( A \) и \( B \) опишемо лукове \( r=3\text{ cm} \). Пресек је \( C \).
б) СУС: \( a=3\text{ cm}, \gamma=90^\circ, b=4\text{ cm} \). Конструишемо нормалне полуправе из \( C \), нанесемо \( CB=3\text{ cm} \) и \( CA=4\text{ cm} \). Спојимо \( AB \).

Најважније из лекције

Троугао конструишемо лењиром и шестаром на основу датих основних елемената. Постоје четири основне конструкције: СУС (дате две странице и угао између њих), УСУ (дата страница и два угла на њој), ССС (дате три странице) и ССУ (дате две странице и угао наспрам једне од њих). Конструкција УСУ је могућа само када је збир датих углова мањи од \( 180^\circ \), а ССС само када за странице важи неједнакост троугла \( a \lt b+c \). Зависно од података, задатак може имати једно, два или ниједно решење.

Конструкција троугла јесте цртање троугла помоћу лењира (без подеока) и шестара, на основу датих основних елемената (страница и углова).

Постоје четири основне конструкције, према томе који су елементи дати: СУС, УСУ, ССС и ССУ.

Дате су две странице и угао између њих. Нанесемо угао, на његове краке нанесемо дате странице и спојимо крајеве.

Пример: конструиши \( \triangle ABC \) ако је \( CA=2{,}5\,\text{cm} \), \( AB=4\,\text{cm} \) и \( \angle BAC=30^\circ \). Задатак има тачно једно решење.

Дата је једна страница и два угла која належу на њу. На крајевима странице нанесемо дате углове; пресек њихових кракова је трећи врх.

Конструкција је могућа само ако је збир датих углова мањи од \( 180^\circ \), јер је збир свих углова троугла \( 180^\circ \).

Дате су све три странице. Нанесемо једну страницу, па из њених крајева шестаром нацртамо лукове полупречника једнаких осталим двема страницама; њихов пресек је трећи врх.

Троугао постоји само ако свака страница задовољава неједнакост троугла: \( a \lt b+c \).

За \( BC=1{,}5\,\text{cm} \), \( CA=2\,\text{cm} \), \( AB=4\,\text{cm} \) троугао не постоји, јер \( 4 \gt 1{,}5+2 \).

Дате су две странице и угао наспрам једне од њих. Оваква конструкција може имати једно, два или ниједно решење.

Зато увек проверавамо колико решења задатак има за дате вредности.

IV.1. Основне Конструкције Троуглова

Изабери решење задатка:

а) Једнакостранични троугао \( a = 3\text{ cm} \)

б) Правоугли троугао \( a = 3\text{ cm}, b = 4\text{ cm} \)

а) Анализа и конструкција једнакостраничног троугла

Корак 1.1: Цртање дате дужи

Корак 1.2: Главна конструкција а)

б) Анализа и конструкција правоуглог троугла

Корак 2.1: Конструкција правог угла (\( 90^\circ \))

Корак 2.2: Главна конструкција б)

Кратак запис решења:

Најважније из лекције

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Изабери решење задатка:

Кратко решење

а) Једнакостранични троугао \( a = 3\text{ cm} \)

б) Правоугли троугао \( a = 3\text{ cm}, b = 4\text{ cm} \)

Детаљно решење

а) Анализа и конструкција једнакостраничног троугла

Корак 1.1: Цртање дате дужи

Корак 1.2: Главна конструкција а)

б) Анализа и конструкција правоуглог троугла

Корак 2.1: Конструкција правог угла (\( 90^\circ \))

Корак 2.2: Главна конструкција б)

Кратак запис решења:

Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова: