IV.1. Основне Конструкције Троуглова

а)

Корак 1: Анализа

Код једнакокраког троугла углови на основици су једнаки, па је \( \alpha = \beta = 45^\circ \). Основица је \( AB = c = 4\text{ cm} \). Дата је једна страница и два налегла угла, па троугао конструишемо по ставу УСУ. Проверимо да ли је конструкција могућа. Збир датих углова мора бити мањи од \( 180^\circ \): \[ 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ < 180^\circ \] Угао при врху је \[ \gamma = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ. \]

Корак 2: Конструкција угла од \(45^\circ\)

Угао од \( 45^\circ \) добијамо као половину правог угла. Конструишемо прав угао, а затим његову симетралу.

Корак 3: Конструкција троугла

Једнакокраки троугао ABC са основицом AB = 4 cm. Углови код темена A и B су једнаки и износе 45 степени. Теме C је врх троугла изнад средине основице. 1) Конструишемо дуж \( AB = 4\text{ cm} \). 2) У темену \( A \) конструишемо полуправу \( p \) тако да је \( \sphericalangle BAp = 45^\circ \). 3) У темену \( B \) конструишемо полуправу \( q \), са исте стране праве \( AB \) као и \( p \), тако да је \( \sphericalangle ABq = 45^\circ \). 4) Пресек полуправих \( p \) и \( q \) је теме \( C \). Спајањем добијамо \( \triangle ABC \). Задатак има тачно једно решење.

б)

Корак 1: Анализа

Код правоуглог троугла хипотенуза лежи наспрам правог угла и дужа је од сваке катете. Дате су две странице и угао наспрам веће од њих (хипотенуза \( c = 5\text{ cm} \) је већа од катете \( a = 4\text{ cm} \)). Зато користимо ССУ конструкцију, а троугао има тачно једно решење.

Корак 2: Конструкција троугла

Правоугли троугао ABC са правим углом код темена C. Вертикална катета CB је 4 cm, а хипотенуза AB је 5 cm. Види се кружни лук из тачке B који сече други крак правог угла у тачки A. 1) Конструишемо прав угао \( \sphericalangle sCt = 90^\circ \), тј. нормалу на праву у тачки \( C \). 2) На краку \( s \) шестаром нанесемо дуж \( CB = 4\text{ cm} \). 3) Из тачке \( B \) опишемо кружни лук полупречника \( 5\text{ cm} \), тј. \( k(B, 5\text{ cm}) \). Он сече крак \( t \) у тачки \( A \). 4) Спојимо тачке \( A \) и \( B \). Добијамо \( \triangle ABC \) са правим углом код темена \( C \), хипотенузом \( AB = 5\text{ cm} \) и катетом \( CB = 4\text{ cm} \).

а)

\[ AB = 4\text{ cm}, \quad \alpha = \beta = 45^\circ, \quad \alpha + \beta = 90^\circ < 180^\circ \] УСУ: \( AB \), углови \( 45^\circ \) у \( A \) и \( B \), пресек је \( C \).

б)

\[ \gamma = 90^\circ, \quad CB = 4\text{ cm}, \quad AB = 5\text{ cm}, \quad 5 > 4 \] ССУ: \( k(B, 5\text{ cm}) \cap t = A \).