VI.8. Делтоид

Корак 1: Анализа својстава углова делтоида

Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница. Из овог својства произилази да делтоид има један пар једнаких наспрамних углова. То су углови који леже између страница различитих дужина. Означимо углове делтоида са \( \alpha, \beta, \gamma \) и \( \delta \). Нека су \( \beta \) и \( \delta \) једнаки углови (\( \beta = \delta \)), а \( \alpha \) и \( \gamma \) углови које образују једнаке странице.

Корак 2: Први случај - Дати углови су једнаки углови делтоида

Претпоставимо да су дати углови \( 118^\circ \) и \( 100^\circ \) заправо углови \( \alpha \) и \( \gamma \). Тада су преостала два угла (\( \beta \) и \( \delta \)) међусобно једнака. Користимо правило да је збир унутрашњих углова четвороугла \( 360^\circ \): \[ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \] \[ 118^\circ + \beta + 100^\circ + \beta = 360^\circ \] \[ 218^\circ + 2\beta = 360^\circ \] \[ 2\beta = 360^\circ - 218^\circ = 142^\circ \] \[ \beta = 142^\circ : 2 = 71^\circ \] У овом случају, углови делтоида су \( 118^\circ, 71^\circ, 100^\circ, 71^\circ \).

Корак 3: Други случај - Један од датих углова је један од једнаких углова

Претпоставимо да је један од датих углова (на пример \( 118^\circ \)) један од два једнака угла делтоида. Тада мора бити \( \beta = \delta = 118^\circ \). Други дати угао мора бити или \( \alpha \) или \( \gamma \). Нека је \( \alpha = 100^\circ \). \[ 100^\circ + 118^\circ + \gamma + 118^\circ = 360^\circ \] \[ 336^\circ + \gamma = 360^\circ \] \[ \gamma = 360^\circ - 336^\circ = 24^\circ \] У овом случају, углови делтоида су \( 100^\circ, 118^\circ, 24^\circ, 118^\circ \).

Корак 4: Трећи случај - Други дати угао је један од једнаких углова

Претпоставимо сада да је угао од \( 100^\circ \) један од два једнака угла. Тада је \( \beta = \delta = 100^\circ \). Нека је преостали дати угао \( \alpha = 118^\circ \). \[ 118^\circ + 100^\circ + \gamma + 100^\circ = 360^\circ \] \[ 318^\circ + \gamma = 360^\circ \] \[ \gamma = 360^\circ - 318^\circ = 42^\circ \] У овом случају, углови делтоида су \( 118^\circ, 100^\circ, 42^\circ, 100^\circ \).

Корак 5: Закључак

На основу анализе, видимо да постоје три различита начина на која се дати углови могу распоредити у делтоиду, што резултира трима различитим решењима за преостале углове.

\( \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \), \( \beta = \delta \). 1) \( \alpha=118^\circ, \gamma=100^\circ \Rightarrow 2\beta = 360^\circ - 218^\circ = 142^\circ \Rightarrow \beta=\delta=71^\circ \). 2) \( \beta=\delta=118^\circ, \alpha=100^\circ \Rightarrow \gamma = 360^\circ - (118^\circ + 118^\circ + 100^\circ) = 360^\circ - 336^\circ = 24^\circ \). 3) \( \beta=\delta=100^\circ, \alpha=118^\circ \Rightarrow \gamma = 360^\circ - (100^\circ + 100^\circ + 118^\circ) = 360^\circ - 318^\circ = 42^\circ \). Задатак има 3 решења.