Задаци

Question 1

Одреди за које су једноцифрене природне бројеве $ x $ тачне следеће формуле:
1) $ x \le 7 \land x > 3 $;
2) $ x = 1 \lor x \ge 7 $;
3) $ \neg x^2 = 4 \Rightarrow \neg x = 2 $;
4) $ x \ge 3 \Leftrightarrow x > 3 $;
5) $ x = 1 \lor x = 2 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2) = 0 $.

Accepted Answer

Да бисмо одредили за које је једноцифрене природне бројеве $ x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} $ тачна свака од формула, испитаћемо истинитост појединачних исказа и применити правила логичких операција.

1) $ x \le 7 \land x > 3 $
Корак 1: Анализа конјункције
Конјункција ($ \land $) је тачна само ако су оба исказа истовремено тачна. Тражимо бројеве који су мањи или једнаки 7 И већи од 3.
Корак 2: Решавање
Из $ x > 3 $ имамо $ x \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\} $.
Из $ x \le 7 $ имамо \( x...

Question 2

Дати су искази:
$ p $: Тело је здраво; $ q $: Дух је здрав.
1) Напиши реченицу која одговара исказу $ p \Rightarrow q $.
2) Одреди логичку структуру реченице Да би дух био здрав, довољно је да тело буде здраво.

Question 3

Формирај истинитосне таблице формула и одреди које су таутологије.
1) $ p \land q \Rightarrow p $;
2) $ q \Rightarrow p \lor q $;
3) $ p \land q \Rightarrow (p \Leftrightarrow q) $;
4) $ p \lor \neg q \Rightarrow \neg(p \land q) $;
5) \( (p \Rightarrow q) \land (r \Rightarrow q) \Rightarrow...

Question 4

Одреди бар једну формулу $ F $ чија је истинитосна таблица дата на маргини.

Question 5

Методом свођења на апсурд докажи да су следеће формуле таутологије.
1) $ (p \land \neg q \Rightarrow \neg r) \Rightarrow (p \land r \Rightarrow q) $;
2) $ ((p \Rightarrow q) \land (r \Rightarrow s)) \land (p \land r) \Rightarrow q \lor s $.

Question 6

Ако су $ A, B $ и $ C $ произвољне исказне формуле, докажи да су следеће формуле таутологије.
1) $ \neg(A \land B) \Leftrightarrow \neg A \lor \neg B $;
2) $ (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow C) \Rightarrow (A \Rightarrow C) $.

Question 7

Дата је формула $ (p \Rightarrow q) \lor r $. Која је од следећих формула логички еквивалентна датој формули:
1) $ (p \land \neg q) \Rightarrow r $;
2) $ p \Rightarrow (\neg q \Rightarrow r) $;
3) $ p \Rightarrow (\neg r \Rightarrow q) $?

Question 8

Који су од следећих исказа логички еквивалентни исказу „ти ниси у праву или сам ја луд"?
А) Ако си ти у праву, онда сам ја луд;
Б) Ако сам ја луд, онда ти ниси у праву;
В) Ти ниси у праву и ја нисам луд;
Г) Ако ја нисам луд, онда си ти у праву;
Д) Ако ја нисам луд, онда ти ниси у праву.

Question 9

Разговарају три друга.
Пера: „Лазо, ако добијеш пет из математике, добићеш и пет из физике."
Мика: „Лазо, ако добијеш пет из физике, добићеш и пет из математике."
Лаза: „Свакако ће бити тачна изјава бар једног од вас двојице."
Да ли је Лазина изјава тачна?

Question 10

Докажи да је за сваки природан број $ n $ тачна импликација:
ако је $ n^2 $ паран број, онда је $ n $ паран број.

Question 11

Докажи да су за било које скупове $ A, B $ и $ C $ тачне једнакости:
1) $ A \cap B = B \cap A $;
2) $ A \cup B = B \cup A $;
3) $ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C $;
4) $ A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C $;
5) $ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $;
6) \( A \cap (...

Question 12

Нека су $ A $ и $ B $ произвољни подскупови од $ S $. Докажи Де Морганову једнакост
$ (A \cup B)" = A" \cap B" $.
Упутство. Погледај пример 5. на страни 23.

Question 13

Које су од следећих формула тачне за било које скупове $ A $ и $ B $?
1) $ A \subseteq B \Rightarrow A \cap B = A $;
2) $ A \cap B = B \Rightarrow A \subseteq B $;
3) $ A \subseteq B \Rightarrow A \setminus B = \emptyset $;
4) $ A \subseteq B \Rightarrow B \setminus A = \emptyset $;
5) \...

Question 14

Докажи да је за било које скупове $ A, B $ и $ C $ тачна једнакост
$ (A \setminus B) \times C = (A \times C) \setminus (B \times C) $.

Question 15

Које су од следећих формула тачне за било које скупове $ A $ и $ B $?
1) $ A \subseteq B \Rightarrow A \times A \subseteq B \times B $;
2) $ A \subseteq B \Rightarrow A \times A \subseteq A \times B $;
3) $ A \cap B = \emptyset \Rightarrow (A \times A) \cap (B \times B) = \emptyset $.

Question 16

Релацију $ \le $ скупа $ \mathbb{R} $ често посматрамо и на неким подскуповима од $ \mathbb{R} $.
1) Нацртај граф и формирај таблицу релације $ \le $ на скупу $ A = \{1, 2, 3\} $.
2) Нацртај граф и формирај таблицу релације $ < $ на скупу $ A = \{1, 2, 3\} $.

Question 17

На скупу $ S = \{a, b, c, d, e\} $ дефинисана је бинарна релација $ \rho $ графом који је приказан на маргини.
1) Релацију $ \rho $ представи као подскуп од $ S \times S $ навођењем њених елемената.
2) Да ли је релација $ \rho $ рефлексивна, ирефлексивна, симетрична, антисиметрична, линеар...

Question 18

Прикажи у координатном систему релације $ \ge $ и $ > $ скупа $ \mathbb{R} $.
Упутство. Види пример 2. на страни 26.

Question 19

Наведи бар један пример скупа и бинарне релације на њему која је транзитивна, али није рефлексивна нити је симетрична.

Question 20

На партитивном скупу скупа природних бројева $ \mathcal{P}(\mathbb{N}) $ дефинисана је бинарна релација $ \rho $ на следећи начин:
$ A \rho B $ акко $ A \cap B = \emptyset $.
Да ли је релација $ \rho $ рефлексивна, ирефлексивна, симетрична, антисиметрична, линеарна, транзитивна?

Question 21

Одреди бар један петочлан подскуп од $ \mathbb{N} $ на коме је релација дељивости линеарно уређење.

Question 22

Најмањим бројем стрелица допунити граф приказан на слици десно тако да он буде граф релације еквиваленције на скупу $ \{a, b, c, d, e\} $, а затим одреди класе те релације.

Question 23

На скупу природних бројева $ \mathbb{N} $ дефинисана је бинарна релација $ \rho $ на следећи начин:
$ m \rho n $ акко $ m + n $ је паран број.
Докажи да је $ \rho $ релација еквиваленције.

Question 24

На скупу целих бројева $ \mathbb{Z} $ дефинисана је бинарна релација $ \rho $ на следећи начин:
$ m \rho n $ акко $ |m| = |n| $.
Докажи да је $ \rho $ релација еквиваленције и одреди класе еквиваленције.

Question 25

Одреди све функције из скупа $ \{1, 2\} $ у скуп $ \{1, 2, 3\} $ и све функције из $ \{1, 2, 3\} $ у $ \{1, 2\} $.

Question 26

Функција $ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ дефинисана је са $ f(x) = 0,5x - 2 $. Одреди:
1) $ f(0) $; 2) $ f(-1) $; 3) $ f(0,5) $; 4) $ f(-0,5) $; 5) $ f(f(1)) $; 6) $ f(f(3)) $.

Question 27

Функције $ f : \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow \{1, 2, 3\} $ и $ g : \{1, 2, 3\} \rightarrow \{1, 2, 3\} $ су дате са
$ f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \ 2 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} $ и $ g = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $. Одреди композиције $ g \circ f, g \circ g $.

Question 28

Наведи нека два скупа $ A $ и $ B $ и функцију из $ A $ у $ B $ или из $ B $ у $ A $ која је:
1) 1-1 функција и није на-функција; 2) није 1-1 функција, а јесте на-функција.

Question 29

Функција $ f : \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow \{a, b, c, d\} $ дата је са $ f = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \ b & c & a & d \end{pmatrix} $.
Да ли је ова функција бијекција? Ако јесте, одреди $ f^{-1} $.

Question 30

Функције $ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ и $ g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ су дефинисане са
$ f(x) = 2x - 1 $ и $ g(x) = -3x + 1 $.
1) Докажи да су $ f $ и $ g $ бијекције и одреди $ f^{-1} $ и $ g^{-1} $.
2) Одреди $ f \circ g $, докажи да је ова композиција би...

Question 31

Ако је $ |A| = 378, |B| = 253 $ и $ |A \cup B| = 457 $, одреди $ |A \cap B|, |A \setminus B| $ и $ |B \setminus A| $.

Question 32

Ако је $ |A| = 14, |B| = 18, |C| = 19, |A \cap B| = 8, |B \cap C| = 10, |C \cap A| = 7 $ и $ |A \cap B \cap C| = 3 $. Одреди $ |(A \cup B) \cap C|, |(A \cup B) \setminus C|, |C \setminus (A \cap B)|, |(A \setminus B) \setminus C| $ и $ |A \setminus (B \setminus C)| $.

Question 33

Од сто ученика једног међународног такмичења, њих 27 не зна ни немачки ни руски језик. Ако 38 ученика зна немачки, а 45 зна руски, одреди колико ученика зна и немачки и руски језик.

Question 34

Сви ученици једног одељења чланови су бар једне од секција: шаховске, информатичке, математичке. Дванаесторо ученика посећује више од једне секције, при чему све три секције посећује троје ученика. Шесторо ученика су чланови информатичке и математичке секције, а седморо ученика су чланови шаховске и...

Question 35

Фигура се са једног кружног поља може померити само на поље у која воде стрелице из полазног поља (слика испод). На колико различитих начина се фигура може преместити са поља S на поље Z?

Question 36

Колико има шестоцифрених бројева формираних од цифара 0, 1, 2, 3, 4, 5
1) тако да су све цифре различите; 2) ако се цифре могу понављати?

Question 37

Колико има петоцифрених бројева формираних од цифара 0, 1, 2, 3, 4, 6 таквих да се нула не налази ни на првом ни на последњем месту и да се ниједна од цифара не понавља?

Question 38

Колико има троцифрених бројева који не садрже цифру 2?

Question 39

Колико има четвороцифрених бројева који не садрже ни цифру 1 ни цифру 2?

Question 40

Колико има четвороцифрених бројева који садрже бар једном цифру 1?

Question 41

1) На колико начина се може изабрати шифра (password) од пет знакова коју чине само мала слова енглеске абецеде (њих 26) и цифре декадног система (њих 10)? При томе шифре се могу састојати и само од слова или само од бројева, а знаци унутар шифре се могу понављати.
2) На колико начина се може изабра...

Question 42

На слици лево је приказано шест полуправих са заједничким почетком. Колико конвексних углова одређују ове полуправе?

Question 43

У групи од 10 особа налазе се Нина и Аца. На колико начина се могу изабрати четири особе, под условом да ако је изабрана Нина мора бити изабран и Аца?

Question 44

Које су од следећих формула тачне?
1) $ (\forall x \in \mathbb{N})(\exists y \in \mathbb{N})(x \le y) $;
2) $ (\exists x \in \mathbb{Z})(3 \cdot x = -2) $;
3) $ (\forall x \in \mathbb{Q})(\exists y \in \mathbb{Q})(x \cdot y = 1) $;
4) $ (\forall x \in \mathbb{R})(x > 0 \Rightarrow -x < 0) $;...

Question 45

Дата је формула $ \neg(\exists x \in \mathbb{R})(x < 1 \land x > 2) $. Која је од следећих формула еквивалентна датој формули? 1) $ (\forall x \in \mathbb{R})(x > 1 \land x < 2) $; 2) $ (\exists x \in \mathbb{R})(x \ge 1 \lor x \le 2) $; 3) \( (\forall x \in \mathbb{R})(x \ge 1 \lor x \le 2) \...

10. Задаци

Изабери решење задатка:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста