Најважније из лекције
- Бројевна база \( b \) (\( b > 1 \)) одређује колико цифара користимо (од \( 0 \) до \( b-1 \)).
- У декадни систем се прелази рачунањем збира: \( c_n \cdot b^n + ... + c_1 \cdot b^1 + c_0 \cdot b^0 \).
Пример: \( (12)_3 = 1 \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^0 = 3 + 2 = 5 \). - У базу \( b \) прелазимо из декадног система узастопним дељењем тог броја базом \( b \), а тражени број формирамо читањем остатака уназад.
Декадни бројевни систем, који свакодневно користимо, заснован је на бази 10. Сваки број се представља као збир производа цифара и степена броја 10.
Пример у декадном систему (база 10):
\[ 7203 = 7 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 \]
Уместо броја 10, за базу (основу) бројевног система се може изабрати било који природан број \( b > 1 \). У систему са базом \( b \) користи се тачно \( b \) цифара, почев од нуле до \( b-1 \).
Ако је база већа од 10 (\( b > 10 \)), за цифре веће од 9 користе се слова абецеде: A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)...
Које се све цифре могу користити за записивање бројева у систему са базом 5?
У систему са основом 5 (петичном бројевном систему), користе се искључиво цифре које су мање од 5.
Одговор: То су цифре 0, 1, 2, 3 и 4.
Одговор: То су цифре 0, 1, 2, 3 и 4.
Вредност броја записаног у некој бази \( b \) добија се тако што се свака цифра тог записа помножи одговарајућим степеном базе, а затим се ти производи саберу.
Запис броја \( (c_n ... c_2 c_1 c_0)_b \) у декадном систему рачуна се по формули:
\[ a = c_n \cdot b^n + ... + c_2 \cdot b^2 + c_1 \cdot b^1 + c_0 \cdot b^0 \]
Претварање броја из базе 7 у декадни систем:
\[ (2305)_7 = 2 \cdot 7^3 + 3 \cdot 7^2 + 0 \cdot 7^1 + 5 \cdot 7^0 \]
\[ = 2 \cdot 343 + 3 \cdot 49 + 0 \cdot 7 + 5 \cdot 1 \]
\[ = 686 + 147 + 0 + 5 = 838 \]
Претворите бинарни број \( (1011)_2 \) у декадни систем.
Множимо цифре степенима броја 2 (здесна налево, почев од степена 0):
\[ (1011)_2 = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \]
\[ = 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \]
\[ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 \]
Одговор: Број је 11.
Да бисмо број из декадног система превели у систем са базом \( b \), користимо поступак узастопног дељења са остатком.
Делимо дати број базом \( b \) и бележимо количник и остатак.
Добијени количник поново делимо базом \( b \). Поступак понављамо све док количник не постане 0.
Тражени број у новој бази чине сви остаци дељења прочитани уназад (од последњег ка првом).
Преведимо број 876 у систем са базом 8 (октани систем):
\( 876 = 109 \cdot 8 + \mathbf{4} \) (остатак 4)
\( 109 = 13 \cdot 8 + \mathbf{5} \) (остатак 5)
\( 13 = 1 \cdot 8 + \mathbf{5} \) (остатак 5)
\( 1 = 0 \cdot 8 + \mathbf{1} \) (остатак 1)
Читајући остатке одоздо нагоре, добијамо: \( 876 = (1554)_8 \)
\( 876 = 109 \cdot 8 + \mathbf{4} \) (остатак 4)
\( 109 = 13 \cdot 8 + \mathbf{5} \) (остатак 5)
\( 13 = 1 \cdot 8 + \mathbf{5} \) (остатак 5)
\( 1 = 0 \cdot 8 + \mathbf{1} \) (остатак 1)
Читајући остатке одоздо нагоре, добијамо: \( 876 = (1554)_8 \)
Преведимо број 876 у систем са базом 16 (хексадекадни систем):
\( 876 = 54 \cdot 16 + \mathbf{12} \) (остатак 12 записујемо као C)
\( 54 = 3 \cdot 16 + \mathbf{6} \) (остатак 6)
\( 3 = 0 \cdot 16 + \mathbf{3} \) (остатак 3)
Читајући остатке уназад, добијамо: \( 876 = (36C)_{16} \)
\( 876 = 54 \cdot 16 + \mathbf{12} \) (остатак 12 записујемо као C)
\( 54 = 3 \cdot 16 + \mathbf{6} \) (остатак 6)
\( 3 = 0 \cdot 16 + \mathbf{3} \) (остатак 3)
Читајући остатке уназад, добијамо: \( 876 = (36C)_{16} \)
Запишите декадни број 45 у бинарном систему (база 2).
Делимо број 45 бројем 2 и бележимо остатке:
\( 45 = 22 \cdot 2 + \mathbf{1} \)
\( 22 = 11 \cdot 2 + \mathbf{0} \)
\( 11 = 5 \cdot 2 + \mathbf{1} \)
\( 5 = 2 \cdot 2 + \mathbf{1} \)
\( 2 = 1 \cdot 2 + \mathbf{0} \)
\( 1 = 0 \cdot 2 + \mathbf{1} \)
Читамо остатке уназад:
Одговор: \( 45 = (101101)_2 \)
\( 45 = 22 \cdot 2 + \mathbf{1} \)
\( 22 = 11 \cdot 2 + \mathbf{0} \)
\( 11 = 5 \cdot 2 + \mathbf{1} \)
\( 5 = 2 \cdot 2 + \mathbf{1} \)
\( 2 = 1 \cdot 2 + \mathbf{0} \)
\( 1 = 0 \cdot 2 + \mathbf{1} \)
Читамо остатке уназад:
Одговор: \( 45 = (101101)_2 \)
Задаци за вежбање
Лак: Преведите број \( (41)_5 \) у декадни бројевни систем.
Примењујемо формулу за превођење множењем степенима базе 5:
\[ (41)_5 = 4 \cdot 5^1 + 1 \cdot 5^0 = 4 \cdot 5 + 1 \cdot 1 = 20 + 1 = 21 \]
Одговор: Тражени број у декадном систему је 21.
Средњи: Дат је декадни број 156. Запишите овај број у хексадекадном систему (база 16). Подсетник: остаци 10, 11, 12, 13, 14, 15 се бележе словима A, B, C, D, E, F.
Узастопно делимо број 156 са 16:
\( 156 = 9 \cdot 16 + \mathbf{12} \) (остатак 12 је слово C)
\( 9 = 0 \cdot 16 + \mathbf{9} \) (остатак 9)
Читамо остатке одоздо нагоре.
Одговор: \( 156 = (9C)_{16} \)
\( 156 = 9 \cdot 16 + \mathbf{12} \) (остатак 12 је слово C)
\( 9 = 0 \cdot 16 + \mathbf{9} \) (остатак 9)
Читамо остатке одоздо нагоре.
Одговор: \( 156 = (9C)_{16} \)
Тежак: У једном запису, године старости одређене особе представљене су у систему са базом 3 као \( (1021)_3 \). Колико та особа има година у декадном систему?
Преводимо број \( (1021)_3 \) у декадни систем множећи цифре степенима броја 3:
\[ (1021)_3 = 1 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 \]
\[ = 1 \cdot 27 + 0 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \]
\[ = 27 + 0 + 6 + 1 = 34 \]
Одговор: Особа има 34 године.
Тежак (Примена): Имате тегове од 1 kg, 2 kg, 4 kg, 8 kg и 16 kg. Које од њих морате ставити на један тас ваге да бисте измерили терет од 25 kg? (Упутство: претворите број 25 у бинарни систем).
Масе тегова су степени броја 2 (\( 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4 \)). Представљање масе терета помоћу ових тегова еквивалентно је бинарном запису броја.
Делимо 25 са 2:
\( 25 = 12 \cdot 2 + \mathbf{1} \) (потребан тег од \( 2^0 = 1 \) kg)
\( 12 = 6 \cdot 2 + \mathbf{0} \) (није потребан тег од \( 2^1 = 2 \) kg)
\( 6 = 3 \cdot 2 + \mathbf{0} \) (није потребан тег од \( 2^2 = 4 \) kg)
\( 3 = 1 \cdot 2 + \mathbf{1} \) (потребан тег од \( 2^3 = 8 \) kg)
\( 1 = 0 \cdot 2 + \mathbf{1} \) (потребан тег од \( 2^4 = 16 \) kg)
Бинарни запис је \( (11001)_2 \).
Одговор: Потребни су тегови од 16 kg, 8 kg и 1 kg (јер је \( 16 + 8 + 1 = 25 \)).
\( 25 = 12 \cdot 2 + \mathbf{1} \) (потребан тег од \( 2^0 = 1 \) kg)
\( 12 = 6 \cdot 2 + \mathbf{0} \) (није потребан тег од \( 2^1 = 2 \) kg)
\( 6 = 3 \cdot 2 + \mathbf{0} \) (није потребан тег од \( 2^2 = 4 \) kg)
\( 3 = 1 \cdot 2 + \mathbf{1} \) (потребан тег од \( 2^3 = 8 \) kg)
\( 1 = 0 \cdot 2 + \mathbf{1} \) (потребан тег од \( 2^4 = 16 \) kg)
Бинарни запис је \( (11001)_2 \).
Одговор: Потребни су тегови од 16 kg, 8 kg и 1 kg (јер је \( 16 + 8 + 1 = 25 \)).
