Најважније из лекције
Реални бројеви (\( \mathbb{R} \)): Настају спајањем скупа рационалних (\( \mathbb{Q} \)) и ирационалних (\( I \)) бројева. \( \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup I \).
Децимални запис: Рационални бројеви имају коначан или периодичан запис, док ирационални (нпр. \( \sqrt{2}, \pi \)) имају бесконачан непериодичан запис.
Бројевна права: Сваки реалан број представља једну тачку на бројевној правој. Делови бројевне праве описују се интервалима.
Затвореност: \( \mathbb{Q} \) је затворен за основне рачунске операције, док \( I \) није. Збир рационалног и ирационалног броја је увек ирационалан.
Децимални запис: Рационални бројеви имају коначан или периодичан запис, док ирационални (нпр. \( \sqrt{2}, \pi \)) имају бесконачан непериодичан запис.
Бројевна права: Сваки реалан број представља једну тачку на бројевној правој. Делови бројевне праве описују се интервалима.
Затвореност: \( \mathbb{Q} \) је затворен за основне рачунске операције, док \( I \) није. Збир рационалног и ирационалног броја је увек ирационалан.
Бројеви који се могу представити бесконачним непериодичним децималним записима називају се ирационалним бројевима.
Скуп свих ирационалних бројева обележава се великим словом \( I \).
Не постоји рационалан број \( x \) такав да је \( x^2 = 2 \). Решење ове једначине је ирационалан број \( \sqrt{2} \).
Примери ирационалних бројева:
- Корени који нису потпуни квадрати: \( \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} \dots \)
- Број \( \pi = 3,1415926535\dots \) (однос обима и пречника круга).
- Бројеви са правилом генерисања децимала које није периодично, нпр. \( 0,1010010001\dots \)
Да ли је број \( 0,33333\dots \) ирационалан број?
Одговор: Не. Ово је бесконачан, али периодичан децимални запис. Зато је он рационалан број (једнак разломку \( \frac{1}{3} \)).
Скуп свих рационалних и свих ирационалних бројева назива се скуп реалних бројева.
Скуп реалних бројева се обележава словом \( \mathbb{R} \).
Сваки реални број може се изразити децималним записом.
- Рационални бројеви: коначан или бесконачан периодичан децимални запис.
- Ирационални бројеви: бесконачан непериодичан децимални запис.
Све реалне бројеве можемо приказати на бројевној правој. Свакој тачки бројевне праве придружен је јединствен реалан број (њена координата).
Подскупови скупа \( \mathbb{R} \) на бројевној правој називају се интервали. За реалне бројеве \( a < b \):
- Отворени интервал: \( (a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\} \) (крајеви нису укључени)
- Затворени интервал: \( [a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\} \) (крајеви су укључени)
- Полуотворени интервали: \( [a, b) \) и \( (a, b] \)
- Неограничени интервали: нпр. \( (a, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\} \) или \( (-\infty, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le b\} \)
Запишите помоћу интервала скуп свих реалних бројева \( x \) који су већи или једнаки -3 и строго мањи од 5.
Одговор: Тражени интервал је полуотворен: \( [-3, 5) \).
За реалне бројеве важе основне особине операција: комутативност (\( x+y=y+x \)), асоцијативност, постојање неутралних елемената (0 за сабирање, 1 за множење), постојање инверзних елемената (\( -x \) за сабирање, \( \frac{1}{x} \) за множење) и дистрибутивност множења према сабирању.
Затвореност скупова у односу на операције:
Скуп рационалних бројева (\( \mathbb{Q} \)) је затворен за сабирање, одузимање, множење и дељење (осим нулом). То значи да резултат операције над два рационална броја остаје у скупу \( \mathbb{Q} \).
Скуп ирационалних бројева (\( I \)) није затворен ни за једну операцију.
Скуп рационалних бројева (\( \mathbb{Q} \)) је затворен за сабирање, одузимање, множење и дељење (осим нулом). То значи да резултат операције над два рационална броја остаје у скупу \( \mathbb{Q} \).
Скуп ирационалних бројева (\( I \)) није затворен ни за једну операцију.
Збир једног рационалног и једног ирационалног броја је увек ирационалан број.
Доказ да скуп ирационалних бројева није затворен за множење: \( \sqrt{2} \) је ирационалан број, али \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \), што је рационалан број.
Задаци за вежбање
Лак: Разврстајте следеће бројеве на рационалне и ирационалне: \( 5; \quad -0,25; \quad \sqrt{7}; \quad \pi; \quad \frac{2}{3} \).
Рационални: \( 5, \ -0,25, \ \frac{2}{3} \) (могу се записати као разломци/коначни или периодични децимални бројеви).
Ирационални: \( \sqrt{7}, \ \pi \) (бесконачни непериодични децимални записи).
Ирационални: \( \sqrt{7}, \ \pi \) (бесконачни непериодични децимални записи).
Средњи: Наведите све целе бројеве који припадају интервалу \( (-2, \sqrt{5}] \).
Знамо да је \( 2^2 = 4 \) и \( 3^2 = 9 \), па се \( \sqrt{5} \) налази између 2 и 3 (око 2,23).
Интервал \( (-2, \sqrt{5}] \) обухвата бројеве који су строго већи од -2 и мањи или једнаки \( \sqrt{5} \).
Одговор: Цели бројеви у овом интервалу су: \( -1, 0, 1, 2 \).
Интервал \( (-2, \sqrt{5}] \) обухвата бројеве који су строго већи од -2 и мањи или једнаки \( \sqrt{5} \).
Одговор: Цели бројеви у овом интервалу су: \( -1, 0, 1, 2 \).
Тежак: Ако су \( a \) и \( b \) ирационални бројеви, да ли њихов збир \( a + b \) мора бити ирационалан број? Објасните на примеру.
Одговор: Не мора. Скуп ирационалних бројева није затворен за сабирање.
Пример: Нека је \( a = \sqrt{2} \) (ирационалан) и \( b = -\sqrt{2} \) (ирационалан). Њихов збир је \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \), а 0 је рационалан број.
Пример: Нека је \( a = \sqrt{2} \) (ирационалан) и \( b = -\sqrt{2} \) (ирационалан). Њихов збир је \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \), а 0 је рационалан број.
