Најважније из лекције
- Заокругливање бројева се врши на основу прве цифре која се одбацује (ако је 0-4 претходна остаје иста, ако је 6-9 претходна се увећава за 1, док за 5 важе посебна правила).
- Апсолутна грешка \( \Delta(x') = |x - x'| \) представља физичко одступање приближне од тачне вредности.
- Релативна грешка \( \delta_{x'} = \frac{\Delta}{x'} \) је прави показатељ прецизности неког мерења.
- Рачунање са приближним бројевима захтева праћење интервала у којима се вредности налазе (одређивање најмање \( m \) и највеће \( M \) могуће вредности).
Приликом практичних израчунавања и мерења, тачне вредности бројева се често замењују њиховим приближним вредностима. Замена броја \( x \) неком приближном вредношћу \( x' \) означава се са \( x \approx x' \).
Трећина килограма тачно износи \( 0,3333333333... \text{ kg} \). Међутим, у пракси, ако вага мери у грамима (на три децимале), узимамо приближну вредност \( 0,333 \text{ kg} \).
Приликом одређивања приближне вредности, настојимо да тачну вредност броја \( x \) заменимо оном вредношћу \( x' \) тако да се оне што мање разликују (бирамо најближи број на бројевној прави).
Поступак замене броја приближном вредношћу са одређеним бројем децимала назива се заокругливање. Правила зависе од прве цифре коју одбацујемо.
| Правило (Прва цифра која се одбацује) | Шта се дешава са последњом цифром која остаје? | Примери (на две децимале) |
|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3 или 4 | Остаје непромењена. | \( 3,6731 \approx 3,67 \) \( 1,98499 \approx 1,98 \) |
| 6, 7, 8 или 9 | Повећава се за 1. | \( 72,358 \approx 72,36 \) \( 12,498 \approx 12,50 \) |
| 5 (и иза ње има још цифара) | Повећава се за 1. | \( 8,815001 \approx 8,82 \) \( 13,59567 \approx 13,60 \) |
| 5 (и иза ње нема других цифара) | Остаје непромењена ако је парна. Повећава се за 1 ако је непарна. |
\( 14,625 \approx 14,62 \) \( 14,635 \approx 14,64 \) |
Заокругли број \( 4,555 \) на две децимале, а затим број \( 4,545 \) на две децимале.
Број \( 4,555 \) одбацује цифру 5 иза које нема других цифара. Претходна цифра је 5 (непарна), па се повећава за 1. Резултат: \( 4,56 \).
Број \( 4,545 \) одбацује цифру 5 иза које нема других цифара. Претходна цифра је 4 (парна), па остаје непромењена. Резултат: \( 4,54 \).
Број \( 4,545 \) одбацује цифру 5 иза које нема других цифара. Претходна цифра је 4 (парна), па остаје непромењена. Резултат: \( 4,54 \).
Апсолутна грешка приближног броја \( x' \) је апсолутна вредност разлике између тачног броја \( x \) и његове приближне вредности.
\[ \Delta(x') = |x - x'| \]
Граница апсолутне грешке (\( \Delta \)) је број од кога апсолутне грешке сигурно нису веће. Тада кажемо да је број \( x \) апроксимиран бројем \( x' \) са тачношћу \( \Delta \).
\[ |x - x'| \leq \Delta \quad \text{односно} \quad x = x' \pm \Delta \]
Ово значи да се тачна вредност налази у интервалу од \( x' - \Delta \) до \( x' + \Delta \).
Релативна грешка приближног броја \( x' \) (\( \delta_{x'} \)) користи се као најбољи показатељ прецизности мерења. Што је релативна грешка мања, мерење је прецизније.
\[ \delta_{x'} = \frac{\Delta}{x'} \]
Ако меримо дужину зграде и добијемо \( 20 \pm 0,5 \text{ m} \), релативна грешка је \( \frac{0,5}{20} = 0,025 \).
Када рачунамо са приближним бројевима за које знамо границе апсолутних грешака (нпр. \( x = x' \pm \Delta_x \) и \( y = y' \pm \Delta_y \)), одређујемо најмању могућу вредност (\( m \)) и највећу могућу вредност (\( M \)).
| Израз (\( I \)) | Најмања могућа вредност (\( m_I \)) | Највећа могућа вредност (\( M_I \)) |
|---|---|---|
| \( x + y \) | \( m_x + m_y \) | \( M_x + M_y \) |
| \( x - y \) | \( m_x - M_y \) | \( M_x - m_y \) |
| \( x \cdot y \) | \( m_x \cdot m_y \) | \( M_x \cdot M_y \) |
| \( x / y \) | \( m_x / M_y \) | \( M_x / m_y \) |
Вредност израза \( I \) се на крају апроксимира аритметичком средином најмање и највеће могуће вредности, са тачношћу која је једнака половини њихове разлике.
\[ I \approx \frac{m_I + M_I}{2} \pm \frac{M_I - m_I}{2} \]
Задаци за вежбање
Лак: Број \( 8,48251 \) заокругли на:
а) три децимале
б) једну децималу
а) три децимале
б) једну децималу
а) Трећа децимала је 2. Прва цифра коју одбацујемо је 5 (иза ње има још цифара). Зато се последња цифра повећава за 1. Резултат: \( 8,483 \).
б) Прва децимала је 4. Прва цифра коју одбацујемо је 8. Зато се последња цифра повећава за 1. Резултат: \( 8,5 \).
б) Прва децимала је 4. Прва цифра коју одбацујемо је 8. Зато се последња цифра повећава за 1. Резултат: \( 8,5 \).
Средњи: Резултати мерења масе два предмета су: \( 240 \pm 12 \text{ kg} \) и \( 250 \pm 5 \text{ kg} \). Одреди релативне грешке оба мерења и закључи које мерење је прецизније.
За први предмет: \( \delta_1 = \frac{\Delta_1}{x'_1} = \frac{12}{240} = 0,05 \).
За други предмет: \( \delta_2 = \frac{\Delta_2}{x'_2} = \frac{5}{250} = 0,02 \).
Закључак: Друго мерење је прецизније јер је његова релативна грешка мања (\( 0,02 < 0,05 \)).
За други предмет: \( \delta_2 = \frac{\Delta_2}{x'_2} = \frac{5}{250} = 0,02 \).
Закључак: Друго мерење је прецизније јер је његова релативна грешка мања (\( 0,02 < 0,05 \)).
Тежак: Дата су два броја са својим границама грешака: \( x = 6,5 \pm 0,2 \) и \( y = 2,0 \pm 0,1 \). Израчунај најмању и највећу могућу вредност за разлику ових бројева (\( x - y \)).
Прво одређујемо екстремне вредности за \( x \) и \( y \):
\( m_x = 6,5 - 0,2 = 6,3 \)
\( M_x = 6,5 + 0,2 = 6,7 \)
\( m_y = 2,0 - 0,1 = 1,9 \)
\( M_y = 2,0 + 0,1 = 2,1 \)
За разлику \( x - y \), формуле су:
Најмања вредност: \( m_{x-y} = m_x - M_y = 6,3 - 2,1 = 4,2 \)
Највећа вредност: \( M_{x-y} = M_x - m_y = 6,7 - 1,9 = 4,8 \)
Одговор: Најмања могућа вредност разлике је 4,2, а највећа 4,8.
\( m_x = 6,5 - 0,2 = 6,3 \)
\( M_x = 6,5 + 0,2 = 6,7 \)
\( m_y = 2,0 - 0,1 = 1,9 \)
\( M_y = 2,0 + 0,1 = 2,1 \)
За разлику \( x - y \), формуле су:
Најмања вредност: \( m_{x-y} = m_x - M_y = 6,3 - 2,1 = 4,2 \)
Највећа вредност: \( M_{x-y} = M_x - m_y = 6,7 - 1,9 = 4,8 \)
Одговор: Најмања могућа вредност разлике је 4,2, а највећа 4,8.
