Најважније из лекције
- Степен са целим изложиоцем: Поред позитивних изложилаца (\( a^n = a \cdot \dots \cdot a \)), дефинише се и нулти степен (\( a^0 = 1 \)) и негативни степен (\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)) за свако \( a \neq 0 \).
- Својства степеновања: Множење (\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)), дељење (\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)), степеновање степена (\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)), као и степен производа и количника важе за све целе бројеве.
- Стандардни (научни) запис: Користи се за запис веома великих и малих бројева. Облик му је \( a \cdot 10^n \), где је \( 1 \le a < 10 \) и \( n \in \mathbb{Z} \) (нпр. \( 3,2 \cdot 10^{-4} \)).
Степен реалног броја \( a \) природним бројем \( n \) је производ \( n \) чинилаца који су сви једнаки броју \( a \).
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ пута}} \]
Квадрат и куб: Степен \( a^2 \) назива се квадрат броја \( a \), а степен \( a^3 \) куб броја \( a \).
Израчунај вредност израза: \( 2^4 \) и \( 5^3 \).
\( 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \)
\( 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \)
\( 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \)
За сваки реалан број \( a \) различит од нуле важи: \( a^0 = 1 \).
Степеновање негативним бројем дефинише се преко реципрочне вредности. Ако је \( a \neq 0 \) и \( n \in \mathbb{N} \):
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{и обрнуто} \quad a^n = \frac{1}{a^{-n}} \]
Реципрочна вредност (инверзни елемент за множење) броја \( a \) је \( a^{-1} \).
Израчунај: \( 3^{-2} \) и \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \).
\( 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)
\( \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8 \)
\( \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8 \)
Ако су \( a \) и \( b \) реални бројеви (\( a, b \neq 0 \)), а \( m \) и \( n \) било који цели бројеви (позитивни, негативни или нула), важе следећа правила:
| Правило | Формула |
|---|---|
| Множење степена истих основа | \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) |
| Дељење степена истих основа | \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) |
| Степеновање степена | \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) |
| Степен производа | \( (ab)^n = a^n \cdot b^n \) |
| Степен количника | \( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \) |
Упрости израз: \( \frac{x^5 \cdot x^{-2}}{(x^2)^3} \), где је \( x \neq 0 \).
Бројилац: \( x^5 \cdot x^{-2} = x^{5+(-2)} = x^3 \)
Именилац: \( (x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6 \)
Количник: \( \frac{x^3}{x^6} = x^{3-6} = x^{-3} = \frac{1}{x^3} \)
Именилац: \( (x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6 \)
Количник: \( \frac{x^3}{x^6} = x^{3-6} = x^{-3} = \frac{1}{x^3} \)
Веома велики или веома мали бројеви записују се помоћу степена броја 10 ради прегледности и лакшег рачунања.
\[ a \cdot 10^n \]
где је \( 1 \le a < 10 \) и \( n \in \mathbb{Z} \).
Маса Сунца: \( 1,9891 \cdot 10^{30} \text{ kg} \)
Маса електрона: \( 9,10938 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \)
Маса електрона: \( 9,10938 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \)
На калкулаторима се научни запис често приказује словом E (или e). На пример, приказ \( 9,06 \text{ E } + 49 \) значи \( 9,06 \cdot 10^{49} \).
Запиши број \( 0,0000000238 \) у стандардном (научном) запису.
Број \( a \) мора бити између 1 и 10, па узимамо \( 2,38 \). Зарез смо померили за 8 места удесно, што значи да број делимо са \( 10^8 \), па је изложилац негативан (\( -8 \)).
Решење: \( 2,38 \cdot 10^{-8} \)
Решење: \( 2,38 \cdot 10^{-8} \)
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредност израза: \( 5^0 + 2^{-3} \).
\( 5^0 = 1 \)
\( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
\( 1 + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = \frac{9}{8} \)
\( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
\( 1 + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = \frac{9}{8} \)
Средњи: Упрости израз \( \frac{a^{-4} \cdot a^7}{a^{-2}} \) (за \( a \neq 0 \)) и прикажи га као степен са позитивним изложиоцем.
Множење у бројиоцу: \( a^{-4} \cdot a^7 = a^{-4+7} = a^3 \)
Дељење: \( \frac{a^3}{a^{-2}} = a^{3 - (-2)} = a^{3+2} = a^5 \)
Одговор: \( a^5 \)
Дељење: \( \frac{a^3}{a^{-2}} = a^{3 - (-2)} = a^{3+2} = a^5 \)
Одговор: \( a^5 \)
Тежак: Користећи стандардни (научни) запис, израчунај производ бројева \( 0,000025 \) и \( 4000000 \).
Прво пребацујемо бројеве у научни запис:
\( 0,000025 = 2,5 \cdot 10^{-5} \)
\( 4000000 = 4 \cdot 10^6 \)
Множимо их груписањем:
\( (2,5 \cdot 10^{-5}) \cdot (4 \cdot 10^6) = (2,5 \cdot 4) \cdot (10^{-5} \cdot 10^6) \)
\( = 10 \cdot 10^{-5+6} = 10 \cdot 10^1 = 100 \)
Одговор: \( 100 \) (што се у научном запису пише као \( 1 \cdot 10^2 \)).
\( 0,000025 = 2,5 \cdot 10^{-5} \)
\( 4000000 = 4 \cdot 10^6 \)
Множимо их груписањем:
\( (2,5 \cdot 10^{-5}) \cdot (4 \cdot 10^6) = (2,5 \cdot 4) \cdot (10^{-5} \cdot 10^6) \)
\( = 10 \cdot 10^{-5+6} = 10 \cdot 10^1 = 100 \)
Одговор: \( 100 \) (што се у научном запису пише као \( 1 \cdot 10^2 \)).
