Најважније из лекције
Реални бројеви (\( \mathbb{R} \)): Састоје се од рационалних (разломци, коначни/периодични децимални записи) и ирационалних бројева (бесконачни непериодични децимални записи). Збир рационалног и ирационалног је ирационалан.
Апсолутна вредност (\( |x| \)): Представља удаљеност броја од нуле на бројевној правој. Увек је ненегативна. Важи \( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \) и \( |x + y| \le |x| + |y| \).
Заокругливање: Посебну пажњу захтева цифра 5 на крају – ако испред ње стоји паран број остаје исти, ако је непаран увећава се за 1 (нпр. \( 2,45 \approx 2,4 \); \( 2,35 \approx 2,4 \)).
Степеновање: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), \( a^0 = 1 \). Велики и мали бројеви се ефикасно пишу у научном запису \( a \cdot 10^n \).
Апсолутна вредност (\( |x| \)): Представља удаљеност броја од нуле на бројевној правој. Увек је ненегативна. Важи \( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \) и \( |x + y| \le |x| + |y| \).
Заокругливање: Посебну пажњу захтева цифра 5 на крају – ако испред ње стоји паран број остаје исти, ако је непаран увећава се за 1 (нпр. \( 2,45 \approx 2,4 \); \( 2,35 \approx 2,4 \)).
Степеновање: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), \( a^0 = 1 \). Велики и мали бројеви се ефикасно пишу у научном запису \( a \cdot 10^n \).
Скуп рационалних бројева \( \mathbb{Q} \) настаје проширењем скупа целих бројева \( \mathbb{Z} \) разломцима, како би свака једначина облика \( a \cdot x = b \) имала решење.
\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N} \right\} \]
Сваки рационалан број се може представити у децималном запису који је или коначан или бесконачан периодичан (група цифара која се понавља назива се период).
Превођење периодичног децималног записа у разломак:
1. Помножити број декадном јединицом према броју цифара у претпериоду (ако постоји).
2. Добијени број помножити декадном јединицом према броју цифара у периоду.
3. Одузети ове две једначине да би се елиминисао бесконачни децимални део и изразити непознату.
1. Помножити број декадном јединицом према броју цифара у претпериоду (ако постоји).
2. Добијени број помножити декадном јединицом према броју цифара у периоду.
3. Одузети ове две једначине да би се елиминисао бесконачни децимални део и изразити непознату.
Превођење броја \( x = 0,(3) = 0,333... \) у разломак:
\( 10x = 3,333... \)
\( 10x - x = 3,333... - 0,333... \)
\( 9x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
\( 10x = 3,333... \)
\( 10x - x = 3,333... - 0,333... \)
\( 9x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
Својство густине: Између свака два различита рационална броја постоји бесконачно много рационалних бројева (нпр. њихова аритметичка средина).
Ирационални бројеви (\( I \)): Бројеви који се могу представити само бесконачним непериодичним децималним записима (нпр. \( \sqrt{2}, \pi \)). Не могу се записати у облику разломка.
Скуп реалних бројева (\( \mathbb{R} \)): Унија скупа свих рационалних и свих ирационалних бројева.
Скуп рационалних бројева је затворен за основне операције. Скуп ирационалних бројева није затворен. Збир рационалног и ирационалног броја је увек ирационалан број.
Помоћу бројевне праве приказујемо подскупове од \( \mathbb{R} \) које називамо интервалима: отворени \( (a, b) \), затворени \( [a, b] \) и полуотворени.
Да ли је број \( 3 + \sqrt{5} \) рационалан или ирационалан?
Број 3 је рационалан, док је \( \sqrt{5} \) ирационалан. Збир рационалног и ирационалног броја је увек ирационалан број.
\[ |x| = \begin{cases} x, & \text{ако је } x \ge 0 \\ -x, & \text{ако је } x < 0 \end{cases} \]
За све реалне бројеве \( x \) и \( y \) важи:
- \( |x| \ge 0 \) и \( |-x| = |x| \)
- \( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \)
- \( \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} \), (\( y \neq 0 \))
- \( |x + y| \le |x| + |y| \) (Неједнакост троугла)
Скуп свих реалних бројева \( x \) таквих да је \( |x - a| \le \varepsilon \) представља затворени интервал \( [a - \varepsilon, a + \varepsilon] \).
Када се тачна вредност мења приближном (\( x \approx x' \)), користимо правила заокругливања.
Правила заокругливања:
1. Ако је прва цифра која се одбацује 0, 1, 2, 3 или 4, задржане цифре се не мењају. (нпр. \( 3,673 \approx 3,67 \))
2. Ако је прва цифра која се одбацује 6, 7, 8 или 9, последња задржана се увећава за 1. (нпр. \( 2,168 \approx 2,17 \))
3. Ако се одбацује 5 и иза ње има још цифара, последња задржана се увећава за 1. (нпр. \( 8,8151 \approx 8,82 \))
4. Ако се одбацује само 5 (нема других цифара), последња задржана остаје иста ако је парна, а увећава се за 1 ако је непарна. (нпр. \( 14,625 \approx 14,62 \), али \( 14,635 \approx 14,64 \))
1. Ако је прва цифра која се одбацује 0, 1, 2, 3 или 4, задржане цифре се не мењају. (нпр. \( 3,673 \approx 3,67 \))
2. Ако је прва цифра која се одбацује 6, 7, 8 или 9, последња задржана се увећава за 1. (нпр. \( 2,168 \approx 2,17 \))
3. Ако се одбацује 5 и иза ње има још цифара, последња задржана се увећава за 1. (нпр. \( 8,8151 \approx 8,82 \))
4. Ако се одбацује само 5 (нема других цифара), последња задржана остаје иста ако је парна, а увећава се за 1 ако је непарна. (нпр. \( 14,625 \approx 14,62 \), али \( 14,635 \approx 14,64 \))
Апсолутна грешка: \( \Delta(x') = |x - x'| \)
Релативна грешка: \( \delta_{x'} = \frac{\Delta}{x'} \)
Релативна грешка: \( \delta_{x'} = \frac{\Delta}{x'} \)
Заокругли број \( 12,485 \) на две децимале.
Прва цифра коју одбацујемо је 5 и иза ње нема цифара. Последња цифра коју задржавамо је 8 (парна). Према правилу 4, она остаје непромењена.
Одговор: \( 12,48 \)
Одговор: \( 12,48 \)
Степен са целим изложиоцем:
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ пута}} \quad (n \in \mathbb{N}) \]
\[ a^0 = 1 \quad (a \neq 0) \]
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0, n \in \mathbb{N}) \]
Основна својства:
\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
\( (ab)^n = a^n \cdot b^n \)
\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
\( (ab)^n = a^n \cdot b^n \)
Стандардни (научни) запис: Користи се за веома велике или мале бројеве. Облика је \( a \cdot 10^n \), где је \( 1 \le a < 10 \) и \( n \in \mathbb{Z} \).
Маса електрона: \( 9,109 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \)
Број 7302000 се у стандардном запису пише као \( 7,302 \cdot 10^6 \).
Број 7302000 се у стандардном запису пише као \( 7,302 \cdot 10^6 \).
Задаци за вежбање
Лак: Запиши број \( 0,00054 \) у стандардном (научном) запису.
Да бисмо добили број између 1 и 10, децималну запету померамо 4 места удесно, што значи да множимо са \( 10^{-4} \).
Одговор: \( 5,4 \cdot 10^{-4} \)
Одговор: \( 5,4 \cdot 10^{-4} \)
Средњи: Израчунај вредност израза: \( \frac{2^5 \cdot 2^{-3}}{(2^2)^3} \).
Примењујемо правила за степеновање:
Бројилац: \( 2^5 \cdot 2^{-3} = 2^{5 + (-3)} = 2^2 \)
Именилац: \( (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \)
Израз постаје: \( \frac{2^2}{2^6} = 2^{2 - 6} = 2^{-4} \)
Знамо да је \( 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \).
Одговор: \( \frac{1}{16} \)
Бројилац: \( 2^5 \cdot 2^{-3} = 2^{5 + (-3)} = 2^2 \)
Именилац: \( (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \)
Израз постаје: \( \frac{2^2}{2^6} = 2^{2 - 6} = 2^{-4} \)
Знамо да је \( 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \).
Одговор: \( \frac{1}{16} \)
Тежак: Одреди скуп свих реалних бројева \( x \) таквих да је \( |x + 2| \le 5 \).
Израз \( |x + 2| \le 5 \) преводимо у двоструку неједнакост:
\( -5 \le x + 2 \le 5 \)
Одузимамо 2 од свих делова неједнакости:
\( -5 - 2 \le x \le 5 - 2 \)
\( -7 \le x \le 3 \)
Одговор: Решење је затворени интервал \( [-7, 3] \).
\( -5 \le x + 2 \le 5 \)
Одузимамо 2 од свих делова неједнакости:
\( -5 - 2 \le x \le 5 - 2 \)
\( -7 \le x \le 3 \)
Одговор: Решење је затворени интервал \( [-7, 3] \).
