Најважније из лекције
Односи припадања:
• 2 тачке одређују тачно једну праву.
• 3 неколинеарне тачке одређују тачно једну раван.
• Права и раван: Права лежи у равни (ако деле бар 2 тачке), продире је (1 тачка) или је паралелна са њом (0 тачака).
• Две праве у простору: Секу се (1 заједничка тачка), паралелне су (компланарне, 0 тачака) или су мимоилазне (некомпланарне, 0 тачака).
• Две равни: Паралелне су (0 тачака) или се секу по правој.
• Раван одређују: 3 неколинеарне тачке, права и тачка ван ње, 2 праве које се секу или 2 паралелне праве.
• 2 тачке одређују тачно једну праву.
• 3 неколинеарне тачке одређују тачно једну раван.
• Права и раван: Права лежи у равни (ако деле бар 2 тачке), продире је (1 тачка) или је паралелна са њом (0 тачака).
• Две праве у простору: Секу се (1 заједничка тачка), паралелне су (компланарне, 0 тачака) или су мимоилазне (некомпланарне, 0 тачака).
• Две равни: Паралелне су (0 тачака) или се секу по правој.
• Раван одређују: 3 неколинеарне тачке, права и тачка ван ње, 2 праве које се секу или 2 паралелне праве.
Простор замишљамо као скуп чије елементе називамо тачкама. Основне врсте подскупова (делова) простора су праве и равни.
Означавање:
• Тачке: велика слова латинице \( A, B, C, A_1, ... \)
• Праве: мала слова латинице \( a, b, c, a_1, ... \)
• Равни: мала грчка слова \( \alpha, \beta, \gamma, ... \)
• Тачке: велика слова латинице \( A, B, C, A_1, ... \)
• Праве: мала слова латинице \( a, b, c, a_1, ... \)
• Равни: мала грчка слова \( \alpha, \beta, \gamma, ... \)
Аксиома (П): На свакој правој можемо изабрати произвољно много међусобно различитих тачака, као и произвољно много тачака које јој не припадају.
Аксиома (Р): У свакој равни можемо изабрати произвољно много међусобно различитих тачака, као и произвољно много тачака које јој не припадају.
Аксиома (Р): У свакој равни можемо изабрати произвољно много међусобно различитих тачака, као и произвољно много тачака које јој не припадају.
Аксиома (ТП): За сваке две различите тачке постоји тачно једна права која их садржи. Праву одређену тачкама \( A \) и \( B \) означавамо са \( p(A, B) \).
Колинеарне тачке: Три или више тачака које припадају истој правој.
Неколинеарне тачке: Три или више тачака за које не постоји права која их све садржи.
Колико правих је одређено са три неколинеарне тачке \(A\), \(B\) и \(C\)?
Одговор: Одређене су тачно 3 праве. То су праве \(p(A,B)\), \(p(B,C)\) и \(p(A,C)\).
Аксиома (ТР): Три неколинеарне тачке одређују тачно једну раван. Раван одређену тачкама \( A, B, C \) означавамо са \( \rho(A, B, C) \).
Компланарне тачке: Четири или више тачака које припадају једној (истој) равни.
Некомпланарне тачке: Четири или више тачака за које не постоји раван која их све садржи.
Да ли три тачке могу бити некомпланарне?
Одговор: Не. Било које три тачке су увек компланарне. Ако су неколинеарне, оне одређују тачно једну раван (Аксиома ТР). Ако су колинеарне, постоји бесконачно много равни које их садрже. У оба случаја припадају некој равни.
Аксиома (ПР): Ако права и раван имају више од једне заједничке тачке, тада се права налази у тој равни (\( p \subset \rho \)).
Ако права не лежи у равни, она са равни може имати:
• Једну заједничку тачку: Кажемо да права продире раван у тачки продора (\( p \cap \rho = \{P\} \)).
• Нула заједничких тачака: Кажемо да су права и раван паралелне (\( p \parallel \rho \), \( p \cap \rho = \varnothing \)).
• Једну заједничку тачку: Кажемо да права продире раван у тачки продора (\( p \cap \rho = \{P\} \)).
• Нула заједничких тачака: Кажемо да су права и раван паралелне (\( p \parallel \rho \), \( p \cap \rho = \varnothing \)).
Аксиома (РР): Ако две различите равни имају заједничких тачака, онда је пресек те две равни једна права (\( \alpha \cap \beta = p \)).
Ако две равни немају заједничких тачака, оне су паралелне (\( \alpha \parallel \beta \)).
Однос две праве у простору:
• Секу се: Имају тачно једну заједничку тачку (\( a \cap b = \{P\} \)).
• Паралелне: Немају заједничких тачака, а припадају истој равни (\( a \parallel b \)).
• Мимоилазне: Немају заједничких тачака и не припадају истој равни (\( a \nparallel b \), \( a \cap b = \varnothing \)).
• Секу се: Имају тачно једну заједничку тачку (\( a \cap b = \{P\} \)).
• Паралелне: Немају заједничких тачака, а припадају истој равни (\( a \parallel b \)).
• Мимоилазне: Немају заједничких тачака и не припадају истој равни (\( a \nparallel b \), \( a \cap b = \varnothing \)).
Раван је јединствено одређена ако је задато једно од следећег:
- Три неколинеарне тачке (Аксиома ТР).
- Права и тачка која јој не припада.
- Две различите праве које се секу.
- Две паралелне праве.
Доказ за одређеност равниправом и тачком ван ње:
Ако имамо праву \( a \) и тачку \( A \) ван ње (\( A \notin a \)), на правој \( a \) можемо изабрати две тачке \( P \) и \( Q \) (Аксиома П). Тачке \( A, P, Q \) су сада три неколинеарне тачке, које по Аксиоми (ТР) одређују тачно једну раван \( \alpha \). Пошто та раван садржи тачке \( P \) и \( Q \) са праве \( a \), она (по Аксиоми ПР) садржи и целу праву \( a \).
Ако имамо праву \( a \) и тачку \( A \) ван ње (\( A \notin a \)), на правој \( a \) можемо изабрати две тачке \( P \) и \( Q \) (Аксиома П). Тачке \( A, P, Q \) су сада три неколинеарне тачке, које по Аксиоми (ТР) одређују тачно једну раван \( \alpha \). Пошто та раван садржи тачке \( P \) и \( Q \) са праве \( a \), она (по Аксиоми ПР) садржи и целу праву \( a \).
Задаци за вежбање
Лак: Колико највише заједничких тачака могу имати две различите праве?
Одговор: Највише једну заједничку тачку. Уколико би имале две заједничке тачке, по Аксиоми (ТП), то би била једна иста права (не би биле различите).
Средњи: Дате су две паралелне праве \( a \) и \( b \). На правој \( a \) изабране су тачке \( A \) и \( B \), а на правој \( b \) тачка \( C \). Да ли тачке \( A, B \) и \( C \) одређују јединствену раван? Објасни.
Одговор: Да. Пошто су праве \( a \) и \( b \) паралелне, оне не могу имати заједничких тачака. Зато тачка \( C \) (са праве \( b \)) не припада правој \( a \). Самим тим, тачке \( A, B \) и \( C \) су неколинеарне, па према Аксиоми (ТР) оне одређују тачно једну раван (која је иста она раван коју одређују те две паралелне праве).
Тежак: Нека раван \( \alpha \) и раван \( \beta \) имају три заједничке тачке \( A, B \) и \( C \). Под којим условом ће се равни \( \alpha \) и \( \beta \) поклапати (бити иста раван), а под којим условом ће се сећи по правој?
Одговор:
• Ако су тачке \( A, B \) и \( C \) неколинеарне, равни \( \alpha \) и \( \beta \) се морају поклапати (бити једна те иста раван), јер три неколинеарне тачке одређују тачно једну раван.
• Ако су тачке \( A, B \) и \( C \) колинеарне (леже на једној правој \( p \)), тада се равни \( \alpha \) и \( \beta \) могу сећи, а њихов пресек је управо та права \( p \) (Аксиома РР).
• Ако су тачке \( A, B \) и \( C \) неколинеарне, равни \( \alpha \) и \( \beta \) се морају поклапати (бити једна те иста раван), јер три неколинеарне тачке одређују тачно једну раван.
• Ако су тачке \( A, B \) и \( C \) колинеарне (леже на једној правој \( p \)), тада се равни \( \alpha \) и \( \beta \) могу сећи, а њихов пресек је управо та права \( p \) (Аксиома РР).
