Најважније из лекције
- Распоред тачака: Однос \( A-B-C \) значи да је тачка \( B \) на правој између тачака \( A \) и \( C \).
- Дуж \( AB \): Део праве ограничен тачкама \( A \) и \( B \), укључујући и све тачке између њих.
- Полуправа \( \overrightarrow{AB} \): Део праве који почиње у тачки \( A \) и пружа се неограничено у смеру тачке \( B \). (Тачка дели праву на две полуправе).
- Полураван: Део равни са једне стране неке праве која се зове гранична права. (Права дели раван на две полуравни).
- Пашова теорема: Ако права сече једну страницу троугла (а не пролази кроз темена), она мора сећи тачно још једну његову страницу.
За три међусобно различите колинеарне тачке \( A, B \) и \( C \) можемо дефинисати однос „између”. Ако је тачка \( B \) између тачака \( A \) и \( C \), пишемо \( A-B-C \) или \( C-B-A \).
Аксиоме распореда:
- За три међусобно различите колинеарне тачке, само једна од њих је између преостале две (не могу истовремено важити \( A-B-C \) и \( B-C-A \)).
- Права је "густо попуњена" и неограничена: за сваке две тачке \( A \) и \( B \) постоји тачка између њих (\( A-S-B \)), као и тачке ван њих (\( A-B-D \) и \( L-A-B \)).
Две различите тачке \( A \) и \( B \) заједно са свим тачкама које се налазе између њих (свим тачкама \( X \) таквим да је \( A-X-B \)) образују скуп тачака који се назива дуж.
Дуж се обележава са \( AB \) или \( BA \). Тачке \( A \) и \( B \) су крајеви дужи.
Ако различите тачке \( A \) и \( B \) припадају правој \( p \), онда цела дуж \( AB \) припада тој правој (\( AB \subset p \)).
Свака тачка \( A \) на правој \( a \) дели ту праву на два дела. За тачке у једном делу кажемо да су са исте стране тачке \( A \), док су тачке из различита два дела са различитих страна тачке \( A \).
Скуп тачака који чине тачка \( A \) и све тачке праве \( a \) које су са исте стране тачке \( A \) назива се полуправа. Тачка \( A \) је почетак (теме) полуправе.
Полуправа са почетком у тачки \( A \) која садржи тачку \( B \) означава се са \( \overrightarrow{AB} \) или само \( AB \).
Свака права је неком својом тачком подељена на тачно две полуправе којима је заједничка само та почетна тачка.
Свака права \( a \) у равни \( \alpha \) дели ту раван на два дела. Две тачке су са исте стране праве ако дуж која их спаја не сече праву \( a \). Ако дуж сече праву \( a \), тачке су са различитих страна праве.
Скуп тачака који чине све тачке праве \( a \), као и све тачке равни које су са исте стране праве \( a \), назива се полураван. Права \( a \) се назива гранична права.
Свака права неке равни дели ту раван на тачно две полуравни.
У истој равни дате су три неколинеарне тачке \( A, B \) и \( C \) и права \( p \) која не садржи ниједну од њих. Ако права сече дуж \( BC \), онда она сече или дуж \( AB \) или дуж \( AC \) и не сече обе.
Објашњење доказа: Права \( p \) дели раван на две полуравни. Ако права сече дуж \( BC \), тачке \( B \) и \( C \) су у различитим полуравнима. Тачка \( A \) мора припадати једној од тих полуравни. Зависно од тога где се \( A \) налази, биће са исте стране са једном тачком (па права не сече ту дуж), а са различите стране са другом (па права сече ту дуж).
Задаци за вежбање
Лак: Дате су три колинеарне тачке \( P, Q \) и \( R \). Ако је записано \( Q-R-P \), која тачка се налази између преостале две?
Ознака \( Q-R-P \) (или \( P-R-Q \)) значи да се тачка \( R \) налази између тачака \( Q \) и \( P \).
Средњи: Дате су тачке \( M \) и \( N \) у равни \( \alpha \) и права \( p \) која такође припада тој равни. Ако тачке \( M \) и \( N \) не припадају правој \( p \) и ако дуж \( MN \) сече праву \( p \), шта можемо закључити о положају тачака у односу на полуравни које одређује права \( p \)?
На основу аксиоме о полуравнима, пошто дуж \( MN \) сече праву \( p \), закључујемо да се тачке \( M \) и \( N \) налазе са различитих страна праве \( p \), односно припадају различитим полуравнима чија је гранична права \( p \).
Тежак: Нека су \( A, B, C \) и \( D \) четири тачке у равни и нека је \( p \) права која не садржи ниједну од њих. Ако дуж \( AB \) сече праву \( p \), а дуж \( BC \) не сече праву \( p \), да ли дуж \( AC \) сече праву \( p \)? Образложити.
Да, дуж \( AC \) сече праву \( p \).
Образложење: Пошто дуж \( AB \) сече праву \( p \), тачке \( A \) и \( B \) су у различитим полуравнима. Пошто дуж \( BC \) не сече праву \( p \), тачке \( B \) и \( C \) су у истој полуравни. Из овога следи да су тачке \( A \) и \( C \) у различитим полуравнима. Према аксиоми о полуравнима, ако су крајеви дужи у различитим полуравнима, та дуж мора сећи граничну праву \( p \). Ово је у складу са закључцима Пашове теореме.
Образложење: Пошто дуж \( AB \) сече праву \( p \), тачке \( A \) и \( B \) су у различитим полуравнима. Пошто дуж \( BC \) не сече праву \( p \), тачке \( B \) и \( C \) су у истој полуравни. Из овога следи да су тачке \( A \) и \( C \) у различитим полуравнима. Према аксиоми о полуравнима, ако су крајеви дужи у различитим полуравнима, та дуж мора сећи граничну праву \( p \). Ово је у складу са закључцима Пашове теореме.
