Најважније из лекције
- Размера (\( a:b \)) представља количник два броја и користи се за поређење величина.
- Пропорција је једнакост две размере (\( a:b = c:d \)). Њена најважнија особина је да је производ спољашњих чланова једнак производу унутрашњих (\( a \cdot d = b \cdot c \)).
- Продужена пропорција повезује три или више размера. Најефикасније се решава увођењем помоћног коефицијента \( k \) (нпр. \( a=2k, b=3k \)).
- Својства линеарне комбинације омогућавају сабирање и одузимање чланова пропорције без промене вредности саме размере.
Размера два броја различита од нуле јесте количник та два броја. Она показује у ком су односу те две величине.
Ако је \( a \neq 0 \) и \( b \neq 0 \), размеру бројева \( a \) и \( b \) означавамо са \( a : b \) или \( \frac{a}{b} \).
Размером се често изражава однос међу валутама. На пример, ако је однос долара и евра \( USD : EUR = 1,35 \), то значи да 1 евро вреди 1,35 долара.
Да бисмо израчунали колико долара (\( D \)) вреди \( 10\ € \), постављамо размеру: \( D : 10 = 1,35 \Rightarrow D = 10 \cdot 1,35 = 13,5\ \$ \).
Да бисмо израчунали колико долара (\( D \)) вреди \( 10\ € \), постављамо размеру: \( D : 10 = 1,35 \Rightarrow D = 10 \cdot 1,35 = 13,5\ \$ \).
Ако је однос британске фунте и евра \( GBP : EUR = 0,85 \), колико фунти (\( F \)) можемо добити за \( 100\ € \)?
Постављамо размеру: \( F : 100 = 0,85 \).
Одатле је \( F = 100 \cdot 0,85 = 85 \).
Одговор: За 100 евра можемо добити 85 фунти.
Одатле је \( F = 100 \cdot 0,85 = 85 \).
Одговор: За 100 евра можемо добити 85 фунти.
Ако је размера два броја \( a \) и \( b \) једнака размери бројева \( c \) и \( d \) (\( a : b = c : d \), односно \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)), кажемо да су ови парови пропорционални. Оваква једнакост се назива пропорција.
Основна особина пропорције:
\[ a : b = c : d \quad \text{ако и само ако} \quad a \cdot d = b \cdot c \]
(Производ спољашњих чланова једнак је производу унутрашњих чланова)
Решавање непознатог члана у пропорцији:
\[ 0,12 : 0,4 = x : 0,01 \]
Применом основне особине (множење спољашњих и унутрашњих чланова):
\[ 0,4 \cdot x = 0,12 \cdot 0,01 \]
\[ 0,4 \cdot x = 0,0012 \Rightarrow x = 0,0012 : 0,4 = 0,003 \]
Одреди вредност непознате \( x \) у пропорцији: \( \frac{7}{6} : x = \frac{1}{7} : \frac{1}{3} \).
Примењујемо основну особину пропорције:
\[ x \cdot \frac{1}{7} = \frac{7}{6} \cdot \frac{1}{3} \]
\[ \frac{x}{7} = \frac{7}{18} \]
\[ x = \frac{7}{18} \cdot 7 = \frac{49}{18} \]
Једнакости три и више размера називамо продуженом пропорцијом. Представља се записом: \( a:b = c:d = e:f \), односно \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} \).
Користи се и запис \( a : c : e = b : d : f \), где две тачке раздвајају "прве" (горње) од "других" (доњих) чланова размера.
При раду са продуженим пропорцијама уводи се коефицијент пропорционалности \( k \), којем су једнаке све размере које образују ту продужену пропорцију.
Ако су углови троугла у размери \( \alpha : \beta : \gamma = 2 : 3 : 4 \), можемо их изразити преко коефицијента \( k \):
\[ \frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{3} = \frac{\gamma}{4} = k \Rightarrow \alpha = 2k,\ \beta = 3k,\ \gamma = 4k \]
Збир углова у троуглу је \( 180^\circ \):
\[ 2k + 3k + 4k = 180^\circ \Rightarrow 9k = 180^\circ \Rightarrow k = 20^\circ \]
Углови су: \( \alpha = 40^\circ,\ \beta = 60^\circ,\ \gamma = 80^\circ \).
Нека су \( a_1, a_2, \dots, a_n \) и \( b_1, b_2, \dots, b_n \) реални бројеви различити од нуле, такви да је њихова продужена пропорција једнака: \( a_1 : a_2 : \dots : a_n = b_1 : b_2 : \dots : b_n \). Тада за било које бројеве \( k_1, k_2, \dots, k_n \) важи:
\[ \frac{k_1a_1 + k_2a_2 + \dots + k_na_n}{k_1b_1 + k_2b_2 + \dots + k_nb_n} = \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} \]
Важне последице за пропорцију \( a : b = c : d \):
- \( (a+c) : (b+d) = a : b \), уз услов \( b+d \neq 0 \)
- \( (a-c) : (b-d) = a : b \), уз услов \( b-d \neq 0 \)
- \( (2a-3c) : (2b-3d) = a : b \), уз услов \( 2b-3d \neq 0 \)
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Реши пропорцију \( x : 5 = 12 : 20 \).
Применом основне особине пропорције (множење спољашњих са спољашњим, унутрашњих са унутрашњим):
\( x \cdot 20 = 5 \cdot 12 \)
\( 20x = 60 \)
\( x = 60 : 20 = 3 \)
\( x \cdot 20 = 5 \cdot 12 \)
\( 20x = 60 \)
\( x = 60 : 20 = 3 \)
Средњи ниво: Ако за 3,5 kg јабука треба платити 420 динара, колико кошта 5 kg истих јабука?
Постављамо пропорцију односа масе и цене:
\( 3,5 : 420 = 5 : x \)
\( 3,5 \cdot x = 420 \cdot 5 \)
\( 3,5x = 2100 \)
\( x = 2100 : 3,5 = 600 \)
Одговор: Пет килограма јабука кошта 600 динара.
\( 3,5 : 420 = 5 : x \)
\( 3,5 \cdot x = 420 \cdot 5 \)
\( 3,5x = 2100 \)
\( x = 2100 : 3,5 = 600 \)
Одговор: Пет килограма јабука кошта 600 динара.
Тешки ниво: Одреди бројеве \( x, y \) и \( z \) ако важи продужена пропорција \( x : y : z = 3 : 2 : 5 \) и једначина \( 2x + 5y + 3z = 124 \).
Уводимо коефицијент \( k \):
\( x = 3k, y = 2k, z = 5k \)
Замењујемо ове вредности у дату једначину:
\( 2(3k) + 5(2k) + 3(5k) = 124 \)
\( 6k + 10k + 15k = 124 \)
\( 31k = 124 \Rightarrow k = 4 \)
Сада рачунамо тражене бројеве:
\( x = 3 \cdot 4 = 12 \)
\( y = 2 \cdot 4 = 8 \)
\( z = 5 \cdot 4 = 20 \)
\( x = 3k, y = 2k, z = 5k \)
Замењујемо ове вредности у дату једначину:
\( 2(3k) + 5(2k) + 3(5k) = 124 \)
\( 6k + 10k + 15k = 124 \)
\( 31k = 124 \Rightarrow k = 4 \)
Сада рачунамо тражене бројеве:
\( x = 3 \cdot 4 = 12 \)
\( y = 2 \cdot 4 = 8 \)
\( z = 5 \cdot 4 = 20 \)
