Најважније из лекције
- Директна пропорционалност: Количник величина је сталан (\( \frac{y}{x} = k \)). Ако једна расте, расте и друга. График је права линија која пролази кроз координатни почетак.
- Обрнута пропорционалност: Производ величина је сталан (\( x \cdot y = k \)). Ако једна расте, друга опада. График је једна грана хиперболе у првом квадранту.
- Изведене јединице: Настају дељењем основних јединица приликом израчунавања коефицијента директне пропорционалности (нпр. \( \text{m/s} \), \( \text{kg/m}^3 \)).
Две зависне величине су директно пропорционалне ако је количник њихових одговарајућих вредности сталан (константан). Ова константа се назива коефицијент директне пропорционалности.
\[ \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k \quad \text{односно} \quad \frac{y}{x} = k \]
\(k\) - коефицијент директне пропорционалности
Уколико су две величине директно пропорционалне, онда се истовремено обе повећавају, односно смањују исти број пута.
Примери директно пропорционалних величина:
- Количина робе и укупна цена (размера је цена по јединици).
- Пређени пут и време при равномерном кретању (размера је брзина).
- Маса и запремина тела од истог материјала (размера је густина).
Ако 3 килограма јабука коштају 360 динара, колико коштају 5 килограма истих јабука?
Цена и количина робе су директно пропорционалне величине. Прво рачунамо коефицијент пропорционалности (цену за 1 kg):
\[ k = \frac{360 \text{ дин}}{3 \text{ kg}} = 120 \text{ дин/kg} \]
Затим рачунамо цену за 5 kg:
\[ 5 \text{ kg} \cdot 120 \text{ дин/kg} = 600 \text{ динара} \]
Одговор: 5 килограма јабука кошта 600 динара.
Када две директно пропорционалне величине меримо различитим јединицама мере, коефицијент пропорционалности добија изведену јединицу мере. Она представља количник јединица мере полазних величина.
| Величина \(X\) | Величина \(Y\) | Коефицијент \(k = \frac{Y}{X}\) (Изведена величина) |
|---|---|---|
| Запремина \(V\) у \(\text{m}^3\) | Маса \(m\) у \(\text{kg}\) | Густина \(\rho = \frac{m}{V}\) у \(\text{kg/m}^3\) |
| Време \(t\) у \(\text{h}\) | Пређени пут \(s\) у \(\text{km}\) | Брзина \(v = \frac{s}{t}\) у \(\text{km/h}\) |
| Количина робе \(K\) у \(\text{kg}\) | Вредност \(P\) у дин. | Цена \(c = \frac{P}{K}\) у дин./\(\text{kg}\) |
Аутомобил се креће брзином од \(72 \text{ km/h}\). Изрази ову брзину у метрима у секунди (\(\text{m/s}\)).
Знамо да је \(1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\) и \(1 \text{ h} = 3600 \text{ s}\).
\[ 72 \frac{\text{km}}{\text{h}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 72 \cdot \frac{10}{36} \frac{\text{m}}{\text{s}} = 2 \cdot 10 \frac{\text{m}}{\text{s}} = 20 \frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Одговор: Брзина је \(20 \text{ m/s}\).
Две зависне величине су обрнуто пропорционалне ако је производ њихових одговарајућих вредности сталан (константан). Та константа је коефицијент обрнуте пропорционалности.
\[ x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = k \quad \text{односно} \quad y = \frac{k}{x} \]
\(k\) - коефицијент обрнуте пропорционалности
Ако се једна величина повећа одређени број пута, друга величина се смањује исти тај број пута (и обрнуто).
Примери обрнуто пропорционалних величина:
- Број радника и време потребно да се заврши неки посао (више радника -> мање времена).
- Дужина и ширина правоугаоника који имају исту површину.
Ако 2 радника могу да заврше посао за 12 сати, за колико сати би тај посао завршила 3 радника (ако раде истом брзином)?
Број радника (\(n\)) и време (\(t\)) су обрнуто пропорционални. Производ је константан.
\[ n_1 \cdot t_1 = 2 \cdot 12 = 24 \text{ (укупно радних сати)} \]
За 3 радника важи:
\[ n_2 \cdot t_2 = 24 \Rightarrow 3 \cdot t_2 = 24 \Rightarrow t_2 = \frac{24}{3} = 8 \text{ сати} \]
Одговор: Три радника ће завршити посао за 8 сати.
Задаци за вежбање
Лак:
Ако 4 литре сока коштају 480 динара, колико коштају 7 литара тог истог сока?
У питању је директна пропорционалност.
Коефицијент (цена по литри): \( k = \frac{480}{4} = 120 \text{ дин/l} \)
Цена за 7 литара: \( 7 \cdot 120 = 840 \text{ динара} \)
Одговор: 7 литара сока кошта 840 динара.
Коефицијент (цена по литри): \( k = \frac{480}{4} = 120 \text{ дин/l} \)
Цена за 7 литара: \( 7 \cdot 120 = 840 \text{ динара} \)
Одговор: 7 литара сока кошта 840 динара.
Средњи:
Возећи брзином од \(60 \text{ km/h}\), аутомобил пређе пут између два града за 4 сата. Којом брзином аутомобил треба да се креће да би исти тај пут прешао за 3 сата?
Брзина и време за исти пређени пут су обрнуто пропорционални (\( v \cdot t = s \)).
Укупан пут (константа \(k\)): \( s = 60 \text{ km/h} \cdot 4 \text{ h} = 240 \text{ km} \)
Нова брзина за време од 3 сата: \( v = \frac{240 \text{ km}}{3 \text{ h}} = 80 \text{ km/h} \)
Одговор: Аутомобил треба да се креће брзином од \(80 \text{ km/h}\).
Укупан пут (константа \(k\)): \( s = 60 \text{ km/h} \cdot 4 \text{ h} = 240 \text{ km} \)
Нова брзина за време од 3 сата: \( v = \frac{240 \text{ km}}{3 \text{ h}} = 80 \text{ km/h} \)
Одговор: Аутомобил треба да се креће брзином од \(80 \text{ km/h}\).
Тежак:
За изградњу зида ангажовано је 5 зидара који посао могу да заврше за 12 дана. Након што су радили заједно 4 дана, придружила су им се још 3 зидара. За колико ће укупно дана цео зид бити изграђен?
Укупан обим посла је \( 5 \text{ радника} \cdot 12 \text{ дана} = 60 \text{ радних дана} \).
Током прва 4 дана, 5 радника је урадило: \( 5 \cdot 4 = 20 \text{ радних дана} \) посла.
Преостало је да се уради: \( 60 - 20 = 40 \text{ радних дана} \) посла.
Сада на послу ради укупно \( 5 + 3 = 8 \text{ радника} \).
Број дана потребних да они заврше преостали посао: \( \frac{40}{8} = 5 \text{ дана} \).
Укупан број дана: \( 4 \text{ (почетна)} + 5 \text{ (нова)} = 9 \text{ дана} \).
Одговор: Цео зид ће бити изграђен за укупно 9 дана.
Током прва 4 дана, 5 радника је урадило: \( 5 \cdot 4 = 20 \text{ радних дана} \) посла.
Преостало је да се уради: \( 60 - 20 = 40 \text{ радних дана} \) посла.
Сада на послу ради укупно \( 5 + 3 = 8 \text{ радника} \).
Број дана потребних да они заврше преостали посао: \( \frac{40}{8} = 5 \text{ дана} \).
Укупан број дана: \( 4 \text{ (почетна)} + 5 \text{ (нова)} = 9 \text{ дана} \).
Одговор: Цео зид ће бити изграђен за укупно 9 дана.
