Најважније из лекције
- Пропорције: Постављају се помоћу стрелица. Директне (исти смер) значе да обе величине расту/опадају. Обрнуте (супротан смер) значе да једна расте, друга опада.
- Проценти и промили: Представљају делове целине (\( /100 \) и \( /1000 \)). Вредност дела се добија множењем целине са процентом.
- Проста камата: Рачуна се по формули \( K = G \cdot p\% \cdot t \). Део године се изражава као разломак (нпр. \( m/12 \) за месеце).
- Сложена камата: Користи се за дужи низ година када се камата додаје на главницу: \( G(1 + p\%)^n \).
Пропорције се користе за решавање задатака са две или више зависних величина. Зависности могу бити директне или обрнуте.
Подаци се постављају у табелу. Директна пропорционалност се означава стрелицама истог смера, а обрнута стрелицама супротног смера.
| Директна пропорционалност | Обрнута пропорционалност |
|---|---|
| \[ \begin{matrix} x_1 \downarrow & y_1 \downarrow \\ x_2 & y_2 \end{matrix} \] \[ x_1 : x_2 = y_1 : y_2 \] | \[ \begin{matrix} x_1 \downarrow & y_1 \uparrow \\ x_2 & y_2 \end{matrix} \] \[ x_1 : x_2 = y_2 : y_1 \] |
Код сложене пропорције (више величина), поставља се шема према величини која садржи непознату \( x \). Свака остала величина се појединачно упоређује са том непознатом величином (да ли је директно или обрнуто пропорционална), док се остале сматрају константним.
Пример (Обрнута пропорција): Читајући 2 сата дневно, књига се прочита за 12 дана. За колико дана би се прочитала ако се чита 3 сата дневно?
\[ \begin{matrix} 2 \text{ сата} \downarrow & 12 \text{ дана} \uparrow \\ 3 \text{ сата} & x \text{ дана} \end{matrix} \]
\[ \frac{2}{3} = \frac{x}{12} \implies 3x = 24 \implies x = 8 \text{ дана.} \]
Процентима се броје стоти делови неке величине, док се промилима броје хиљадити делови.
\[ p\% = \frac{p}{100}, \quad p\text{‰} = \frac{p}{1000} \]
Ако је размера целине \( G \) и дела \( P \) једнака \( p\% \), користи се пропорција \( G : P = 100 : p \) или једначина \( G \cdot \frac{p}{100} = P \).
Пример (Снижење): Цена производа је снижена за 20% и сада износи 2 450 динара. Почетна цена \( x \) се рачуна овако:
\[ x - 20\%x = 2\,450 \implies x - \frac{20}{100}x = 2\,450 \implies 0,8x = 2\,450 \implies x = 3\,062,5 \text{ дин.} \]
Рачун мешавине се користи када се спајају супстанце различитих концентрација (процената).
Запремина/маса првог раствора \(\cdot\) његов проценат + Запремина/маса другог \(\cdot\) његов проценат = Укупна маса \(\cdot\) тражени проценат.
Каматни рачун одређује добит (камату) на уложени или позајмљени новац након одређеног времена.
\( G \) = главница (улог), \( K \) = камата (добит), \( p\% \) = каматна стопа, \( t \) = време (у годинама).
Проста каматна формула:
\[ K = G \cdot \frac{p}{100} \cdot t \]
*Ако је време у месецима (\( m \)): \( t = \frac{m}{12} \)
*Ако је време у данима (\( d \)): \( t = \frac{d}{360} \) (рачуна се 360 дана у години)
*Ако је време у данима (\( d \)): \( t = \frac{d}{360} \) (рачуна се 360 дана у години)
Сложена каматна формула:
\[ \text{Укупна сума након } n \text{ година} = G(1 + p\%)^n \]
*Користи се када се након сваке године главница увећава за камату (камата на камату).
Пример: Улог од 150.000 динара на годину дана, са стопом од 5,1%.
\[ K = 150\,000 \cdot \frac{5,1}{100} \cdot 1 = 150\,000 \cdot 0,051 = 7\,650 \text{ динара.} \]
Задаци за вежбање
Лак: За 12 палачинки потребно је 200 грама брашна. Колико брашна је потребно за 30 палачинки?
Ово је директна пропорција (више палачинки захтева више брашна).
\[ 12 : 30 = 200 : x \]
\[ 12 \cdot x = 30 \cdot 200 \]
\[ 12x = 6000 \implies x = 500 \text{ грама.} \]
Средњи: Неко је орочио 320.000 динара на три месеца, са годишњом каматном стопом од 7%. Колико ће новца подићи (главница + камата) по истеку договореног периода?
Користимо просту каматну формулу за месеце (\( m = 3 \)):
\[ K = G \cdot \frac{p}{100} \cdot \frac{m}{12} = 320\,000 \cdot 0,07 \cdot \frac{3}{12} = 320\,000 \cdot 0,07 \cdot 0,25 = 5\,600 \text{ дин.} \]
Укупна сума за подизање је:
\[ 320\,000 + 5\,600 = 325\,600 \text{ динара.} \]
Тежак: У ком односу треба помешати растворе алкохола од 40% и 70% да би се добио раствор од 50%?
Нека је \( x \) количина 40% раствора, а \( y \) количина 70% раствора.
Једначина мешавине гласи:
\[ 0,40x + 0,70y = 0,50(x + y) \]
\[ 0,4x + 0,7y = 0,5x + 0,5y \]
\[ 0,7y - 0,5y = 0,5x - 0,4x \]
\[ 0,2y = 0,1x \]
Да бисмо добили однос \( x : y \), делимо једначину:
\[ \frac{x}{y} = \frac{0,2}{0,1} = \frac{2}{1} \]
Растворе треба помешати у односу 2 : 1.
