Најважније из лекције
Основни појмови:
- Пропорција: \( a : b = c : d \implies a \cdot d = b \cdot c \)
- Директна пропорционалност: \( y/x = \text{const} \) (обе величине расту/опадају истовремено).
- Обрнута пропорционалност: \( y \cdot x = \text{const} \) (кад једна расте, друга сразмерно опада).
- Проценти: Део кроз целину износи \( p/100 \).
- Камата: Рачуна се као \( K = G \cdot p\% \cdot t \).
Размера два броја различита од нуле је њихов количник. Означава се са \( a : b \) или \( \frac{a}{b} \).
Пропорција је једнакост две размере. За парове бројева кажемо да су пропорционални ако је \( a : b = c : d \).
Основна особина пропорције: Производ спољашњих чланова једнак је производу унутрашњих чланова.
\[ a : b = c : d \quad \text{акко} \quad a \cdot d = b \cdot c \]
Одредите непознати члан пропорције: \( 0,12 : 0,4 = x : 0,01 \)
Применом основне особине (множењем спољашњих и унутрашњих чланова):
\( 0,4 \cdot x = 0,12 \cdot 0,01 \)
\( 0,4 \cdot x = 0,0012 \)
\( x = \frac{0,0012}{0,4} = 0,003 \)
\( 0,4 \cdot x = 0,12 \cdot 0,01 \)
\( 0,4 \cdot x = 0,0012 \)
\( x = \frac{0,0012}{0,4} = 0,003 \)
Једнакост три или више размера назива се продужена пропорција. Записује се као \( a:b = c:d = e:f \) или \( a:c:e = b:d:f \).
Ако су углови троугла у размери \( \alpha : \beta : \gamma = 2 : 3 : 4 \), уводимо коефицијент \( k \).
\( \alpha = 2k, \beta = 3k, \gamma = 4k \)
\( 2k + 3k + 4k = 180^\circ \implies 9k = 180^\circ \implies k = 20^\circ \). Углови су \( 40^\circ, 60^\circ, 80^\circ \).
\( \alpha = 2k, \beta = 3k, \gamma = 4k \)
\( 2k + 3k + 4k = 180^\circ \implies 9k = 180^\circ \implies k = 20^\circ \). Углови су \( 40^\circ, 60^\circ, 80^\circ \).
Линеарна комбинација: Ако је \( a_1 : b_1 = a_2 : b_2 = \dots = a_n : b_n \), тада за бројеве \( k_1, \dots, k_n \) важи:
\[ \frac{k_1a_1 + k_2a_2 + \dots + k_na_n}{k_1b_1 + k_2b_2 + \dots + k_nb_n} = \frac{a_1}{b_1} \]
(под условом да је именилац различит од нуле). Ово значи да је нпр. \( (a+c):(b+d) = a:b \).
Две зависне величине су директно пропорционалне ако се истовремено повећавају или смањују исти број пута. Њихов количник је константан.
\[ \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k \quad \text{или} \quad y = k \cdot x \]
k - коефицијент директне пропорционалности
Примери:
• Пређени пут и време (константа је брзина: \( v = s/t \))
• Маса и запремина (константа је густина: \( \rho = m/V \))
• Цена и количина робе
• Пређени пут и време (константа је брзина: \( v = s/t \))
• Маса и запремина (константа је густина: \( \rho = m/V \))
• Цена и количина робе
Две зависне величине су обрнуто пропорционалне ако при повећању једне одређен број пута, друга величина се толико пута смањује. Њихов производ је константан.
\[ x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 = k \quad \text{или} \quad y = \frac{k}{x} \]
k - коефицијент обрнуте пропорционалности
Примери:
• Број радника и време потребно да се заврши посао (\( n \cdot t = \text{const} \))
• Запремина и густина за тела исте масе (\( V \cdot \rho = \text{const} \))
• Број радника и време потребно да се заврши посао (\( n \cdot t = \text{const} \))
• Запремина и густина за тела исте масе (\( V \cdot \rho = \text{const} \))
При постављању задатака, директна пропорционалност се означава паром стрелица истог смера, док се обрнута означава паром супротно усмерених стрелица.
Проценти (%) представљају стоте делове (\( p/100 \)), а промили (‰) хиљадите делове (\( p/1000 \)) неке величине.
Проста каматна формула:
\[ K = G \cdot \frac{p}{100} \cdot t \]
\( K \) - камата, \( G \) - главница, \( p\% \) - каматна стопа, \( t \) - време у годинама.
Сложена каматна формула: \[ G_n = G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n \]
Сложена каматна формула: \[ G_n = G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n \]
Финоћа злата у каратима:
\[ X = 24 \cdot \frac{M_z}{M_s} \]
\( M_z \) - маса чистог злата, \( M_s \) - укупна маса легуре. Чисто злато има 24 карата.
Задаци за вежбање
Лак: Ако се сушењем 70 kg свежег грожђа добија 14 kg сувог, колико ће се килограма сувог грожђа добити сушењем 50 kg свежег?
У питању је директна пропорционалност (мање свежег -> мање сувог).
\( 70 : 50 = 14 : x \)
\( 70 \cdot x = 50 \cdot 14 \)
\( 70x = 700 \implies x = 10 \text{ kg} \)
\( 70 : 50 = 14 : x \)
\( 70 \cdot x = 50 \cdot 14 \)
\( 70x = 700 \implies x = 10 \text{ kg} \)
Средњи: Цена једног производа је снижена за 20% и сада износи 2 450 динара. Колика је била цена робе пре појефтињења?
Нека је почетна цена \( x \). Након снижења цена је \( 80\% \) од \( x \).
\( \frac{80}{100} \cdot x = 2450 \)
\( \frac{4}{5} \cdot x = 2450 \)
\( x = \frac{2450 \cdot 5}{4} = 3062,5 \text{ динара.} \)
\( \frac{80}{100} \cdot x = 2450 \)
\( \frac{4}{5} \cdot x = 2450 \)
\( x = \frac{2450 \cdot 5}{4} = 3062,5 \text{ динара.} \)
Тежак: Три машине за 10 дана, радећи 6 сати дневно, запакују 9 000 пакета. За колико дана ће 4 машине запаковати 11 200 пакета радећи 8 сати дневно?
Постављамо сложену пропорцију у односу на непознату \( x \) (дани):
• Дани и машине су обрнуто пропорционални (више машина -> мање дана): \( 3/4 \)
• Дани и сати дневно су обрнуто пропорционални (више сати -> мање дана): \( 6/8 \)
• Дани и пакети су директно пропорционални (више пакета -> више дана): \( 11200/9000 \)
\( x = 10 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{11200}{9000} \)
\( x = 10 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{112}{90} \)
\( x = 7 \text{ дана.} \)
• Дани и машине су обрнуто пропорционални (више машина -> мање дана): \( 3/4 \)
• Дани и сати дневно су обрнуто пропорционални (више сати -> мање дана): \( 6/8 \)
• Дани и пакети су директно пропорционални (више пакета -> више дана): \( 11200/9000 \)
\( x = 10 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{11200}{9000} \)
\( x = 10 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{112}{90} \)
\( x = 7 \text{ дана.} \)
