Најважније из лекције
- Подударност је релација еквиваленције. Углови на основици једнакокраког троугла су увек подударни (Магарећи мост).
- Прав угао је подударан свом упоредном углу. Праве које се секу под правим углом су нормалне (\(p \perp q\)).
- Права може бити тангента (1 заједничка тачка, нормална на полупречник), сечица (2 заједничке тачке) или да нема додирних тачака са кружницом, у зависности од растојања од центра у односу на полупречник.
- Две кружнице се могу додиривати споља (растојање центара \(r+s\)) или изнутра (растојање центара \(s-r\)).
- Симетрала дужи је нормала која пролази кроз њено средиште, а симетрала угла дели угао на два подударна дела.
Подударност дужи (\(\cong\)) и углова је релација еквиваленције. То значи да за дужи и углове важе следећа својства:
- Рефлексивност: Свака дуж/угао је подударан сам себи (\(AB \cong AB\)).
- Симетричност: Ако је први подударан другом, онда је и други првом (\(AB \cong A_1B_1 \Rightarrow A_1B_1 \cong AB\)).
- Транзитивност: Ако су два објекта подударна трећем, подударни су и међу собом.
Поредак (веће/мање): Дуж \(AB\) је мања од дужи \(CD\) (\(AB < CD\)), ако постоји тачка \(E\) између \(C\) и \(D\) таква да је \(CE \cong AB\). Аналогно правило важи и за углове.
Аксиома везе: Ако за два троугла \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) важи да су им две странице и угао између њих подударни (\(AB \cong A_1B_1\), \(AC \cong A_1C_1\) и \(\angle BAC \cong \angle B_1A_1C_1\)), онда су им и преостали одговарајући углови подударни.
Суседни углови имају заједнички крак, а унутрашњости им се не преклапају. Ако им је збир опружен угао, називају се упоредни (напоредни) углови.
Конвексан угао може бити:
- Оштар: мањи од свог упоредног угла.
- Прав: подударан свом упоредном углу.
- Туп: већи од свог упоредног угла.
Свака два права угла су међусобно подударна. Ако се две праве секу под правим углом, оне су нормалне (управне, ортогоналне), што записујемо као \( p \perp q \).
За сваку праву \(p\) и тачку \(A\) постоји јединствена права која садржи \(A\) и нормална је на \(p\).
Једнакокраки троугао је троугао који има две подударне странице. Те странице се називају краци, трећа страница је основица, а теме наспрам ње је врх.
Теорема ("Магарећи мост"): Наспрам подударних страница троугла налазе се подударни углови. То значи да су у једнакокраком троуглу углови на основици међусобно подударни.
Ако је један угао на основици једнакокраког троугла оштар, какав мора бити други угао на основици?
Према теореми, углови на основици једнакокраког троугла су подударни. Дакле, и други угао мора бити оштар и једнак првом.
Кружница \( k(O, r) \) је скуп свих тачака у равни које су од центра \( O \) удаљене тачно за полупречник \( r \). Унија кружнице и њених унутрашњих тачака назива се круг \( K(O, r) \).
Однос праве \(p\) и кружнице \( k(O, r) \) (нека је \(OP\) растојање од центра до праве):
| Услов | Назив праве | Број заједничких тачака |
|---|---|---|
| \( OP > r \) | Нема посебан назив | 0 (немају заједничких тачака) |
| \( OP = r \) | Тангента | 1 (права додирује кружницу и нормална је на полупречник) |
| \( OP < r \) | Сечица | 2 (права сече кружницу) |
Однос две кружнице \( k(O, r) \) и \( k(S, s) \), где је \(r \le s\):
| Растојање центара (\(OS\)) | Међусобни однос |
|---|---|
| \( OS > r + s \) | Немају заједничких тачака (раздвојене) |
| \( OS = r + s \) | Додирују се споља (1 заједничка тачка) |
| \( s - r < OS < r + s \) | Секу се (2 заједничке тачке) |
| \( OS = s - r \) | Додирују се изнутра (1 заједничка тачка) |
| \( OS < s - r \) | Немају заједничких тачака (једна је унутар друге) |
Свака од следећих конструкција је јединствена:
- Средиште дужи \(AB\): Тачка \(S\) на дужи таква да је \(AS \cong SB\).
- Симетрала угла: Полуправа која дели угао на два подударна дела.
- Симетрала дужи: Права која је нормална на дуж и пролази кроз њено средиште.
Ако је \(ABC\) једнакокраки троугао (\(AC \cong BC\)) и \(S\) средиште основице \(AB\), онда је права \(SC\) нормална на основицу (\(SC \perp AB\)) и представља симетралу угла на врху (\(\angle ACB\)).
Задаци за вежбање
Лак: Дужина полупречника кружнице \(k(O, r)\) је \(r = 5\text{ cm}\). Права \(p\) додирује кружницу (тангента је). Колико је растојање од центра \(O\) до праве \(p\)?
Пошто је права \(p\) тангента кружнице, њено растојање од центра је тачно једнако дужини полупречника.
Одговор: Растојање је \(5\text{ cm}\).
Одговор: Растојање је \(5\text{ cm}\).
Средњи: Дате су дужи \(AB = 7\text{ cm}\) и \(CD = 3\text{ cm}\). Колика је дужина дужи која представља збир (\(AB + CD\)), а колика дужине дужи која представља разлику (\(AB - CD\))?
Збир дужи добијамо надовезивањем, па је дужина \(7\text{ cm} + 3\text{ cm} = 10\text{ cm}\).
Разлика дужи се добија када од веће одузмемо мању, па је дужина \(7\text{ cm} - 3\text{ cm} = 4\text{ cm}\).
Одговор: Збир је \(10\text{ cm}\), а разлика \(4\text{ cm}\).
Одговор: Збир је \(10\text{ cm}\), а разлика \(4\text{ cm}\).
Тежак: Дате су две кружнице \(k_1(O_1, 8\text{ cm})\) и \(k_2(O_2, 3\text{ cm})\). Ако је растојање између њихових центара \(O_1O_2 = 5\text{ cm}\), у ком међусобном положају се налазе ове кружнице? Колико заједничких тачака имају?
Познати су нам полупречници \(s = 8\text{ cm}\), \(r = 3\text{ cm}\) и растојање \(OS = 5\text{ cm}\).
Проверимо разлику полупречника: \(s - r = 8 - 3 = 5\text{ cm}\).
Пошто је растојање центара једнако разлици полупречника (\(OS = s - r\)), кружнице се додирују изнутра.
Одговор: Кружнице се додирују изнутра и имају 1 заједничку тачку.
Одговор: Кружнице се додирују изнутра и имају 1 заједничку тачку.
