Најважније из лекције
Ставови подударности троуглова:
Унакрсни углови су увек једнаки.
Када трансверзала сече паралелне праве: наизменични и сагласни углови су једнаки, док су супротни углови суплементни (збир је \(180^\circ\)).
Углови са паралелним крацима: Ако су исте врсте (оба оштра/тупа) онда су једнаки; ако су различите врсте (оштар и туп) онда су суплементни.
- СУС: Једнаке две странице и захваћени угао.
- УСУ: Једнака страница и два налегла угла.
- ССС: Једнаке све три странице.
- ССУ: Једнаке две странице и угао наспрам веће од њих.
Унакрсни углови су увек једнаки.
Када трансверзала сече паралелне праве: наизменични и сагласни углови су једнаки, док су супротни углови суплементни (збир је \(180^\circ\)).
Углови са паралелним крацима: Ако су исте врсте (оба оштра/тупа) онда су једнаки; ако су различите врсте (оштар и туп) онда су суплементни.
Два троугла сматрамо подударним ако се један од њих може пренети тако да се потпуно поклопи са другим. Они се не разликују ни по чему осим по положају у простору.
Ознака за подударност: \( \Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1 \).
Када записујемо подударност, темена наводимо у редоследу у ком се поклапају. Ако се теме \( A \) поклапа са \( P \), \( B \) са \( Q \), а \( C \) са \( R \), пишемо \( \Delta ABC \cong \Delta PQR \).
Да бисмо утврдили да су два троугла подударна, не морамо проверавати свих шест елемената (три странице и три угла). Довољно је проверити одређена три елемента према следећим ставовима:
Први став (СУС - Страница-Угао-Страница): Два троугла су подударна ако су две странице и њима захваћени угао једног троугла подударни двема страницама и захваћеним углом другог троугла.
Други став (УСУ - Угао-Страница-Угао): Два троугла су подударна ако су страница и на њој налегли углови у једном троуглу подударни једној страници и налеглим угловима у другом троуглу.
Трећи став (ССС - Страница-Страница-Страница): Ако су странице једног троугла подударне страницама другог троугла, онда су та два троугла подударна.
Четврти став (ССУ - Страница-Страница-Угао): Два троугла су подударна ако су две странице једног троугла подударне двема страницама другог троугла, а угао наспрам веће од њих у једном троуглу једнак је углу наспрам веће странице у другом троуглу.
Код четвртог става (ССУ) кључно је да угао мора бити наспрам веће од две посматране странице!
Када се две праве секу, оне образују четири угла.
Теорема о унакрсним угловима: Унакрсни углови (несуседни углови које образују две праве које се секу) су међусобно подударни (једнаки).
Напоредни углови (суседни углови чији је збир \(180^\circ\)) двају подударних углова су такође међусобно подударни.
Трансверзала је права која сече две или више других правих.
Ако трансверзала сече две паралелне праве, важе следећа правила за добијене углове:
| Врста углова | Опис | Својство (код паралелних правих) |
|---|---|---|
| Наизменични | Два спољашња или два унутрашња угла са разних страна трансверзале (нису суседни). | Подударни су (\( \alpha = \beta \)). |
| Сагласни | Један спољашњи и један унутрашњи угао са исте стране трансверзале (нису суседни). | Подударни су (\( \alpha = \beta \)). |
| Супротни | Два спољашња или два унутрашња угла са исте стране трансверзале. | Суплементни су (\( \alpha + \beta = 180^\circ \)). |
Ово важи и обрнуто: Ако су наизменични или сагласни углови једнаки (или ако су супротни суплементни), онда су праве паралелне.
Ако два конвексна угла (која нису права) имају паралелне краке, важи следеће:
- Ако су оба угла исте врсте (оба оштра или оба тупа), тада су подударни.
- Ако су различите врсте (један оштар, а други туп), онда су суплементни (њихов збир је \(180^\circ\)).
Задаци за вежбање
Лак: Две паралелне праве пресечене су трансверзалом. Ако један од наизменичних углова износи \( 65^\circ \), колика је мера другог угла?
Према теореми о наизменичним угловима, када трансверзала сече две паралелне праве, наизменични углови су међусобно једнаки (подударни).
Одговор: Мера другог угла је такође \( 65^\circ \).
Одговор: Мера другог угла је такође \( 65^\circ \).
Средњи: Дат је троугао \( ABC \) са страницама \( AB = 5 \text{ cm} \) и \( BC = 7 \text{ cm} \), и углом \( \angle ABC = 50^\circ \). Дат је и троугао \( PQR \) са страницама \( PQ = 5 \text{ cm} \), \( QR = 7 \text{ cm} \) и углом \( \angle PQR = 50^\circ \). Да ли су ова два троугла подударна? На основу ког става?
Познате су нам две странице и угао који те две странице захватају у оба троугла.
Пошто је \( AB = PQ \), \( BC = QR \) и \( \angle ABC = \angle PQR \), услови су испуњени.
Одговор: Да, троуглови су подударни на основу првог става подударности (СУС - Страница-Угао-Страница).
Пошто је \( AB = PQ \), \( BC = QR \) и \( \angle ABC = \angle PQR \), услови су испуњени.
Одговор: Да, троуглови су подударни на основу првог става подударности (СУС - Страница-Угао-Страница).
Средњи: Углови \( \alpha \) и \( \beta \) имају паралелне краке. Угао \( \alpha \) је оштар и износи \( 42^\circ \), док је угао \( \beta \) туп. Израчунај меру угла \( \beta \).
Према теореми о угловима са паралелним крацима, ако је један угао оштар, а други туп, они су суплементни.
То значи да је \( \alpha + \beta = 180^\circ \).
\( 42^\circ + \beta = 180^\circ \Rightarrow \beta = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ \).
Одговор: Угао \( \beta \) износи \( 138^\circ \).
То значи да је \( \alpha + \beta = 180^\circ \).
\( 42^\circ + \beta = 180^\circ \Rightarrow \beta = 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ \).
Одговор: Угао \( \beta \) износи \( 138^\circ \).
Тежак: Да ли су два правоугла троугла подударна ако имају једнаке хипотенузе и по једну једнаку катету? Образложи одговор помоћу ставова подударности.
У правоуглом троуглу, прави угао (\( 90^\circ \)) се увек налази наспрам хипотенузе, која је најдужа страница у троуглу.
Ако два правоугла троугла имају једнаке катете (једна страница) и једнаке хипотенузе (друга страница), и притом имају једнаке праве углове који се налазе наспрам веће странице (хипотенузе), испуњени су услови за четврти став подударности.
Одговор: Да, подударни су на основу става ССУ (Страница-Страница-Угао наспрам веће странице).
Ако два правоугла троугла имају једнаке катете (једна страница) и једнаке хипотенузе (друга страница), и притом имају једнаке праве углове који се налазе наспрам веће странице (хипотенузе), испуњени су услови за четврти став подударности.
Одговор: Да, подударни су на основу става ССУ (Страница-Страница-Угао наспрам веће странице).
