Најважније из лекције
- Углови: Збир унутрашњих углова је \(180^\circ\). Спољашњи угао једнак је збиру два несуседна унутрашња угла.
- Странице и углови: Наспрам веће странице увек се налази већи угао (и обрнуто).
- Неједнакост троугла: Збир било које две странице мора бити већи од треће странице (\(a+b>c\)).
- Значајне тачке:
- Центар описане кружнице: пресек симетрала страница.
- Центар уписане кружнице: пресек симетрала углова.
- Ортоцентар: пресек висина троугла.
Збир унутрашњих углова троугла једнак је опруженом углу (\(180^\circ\)).
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
Последице:
- Троугао може имати највише један прав угао.
- Троугао може имати највише један туп угао.
- У сваком троуглу бар два угла су оштри углови.
Спољашњи угао троугла је угао напоредан његовом унутрашњем углу. Сваки спољашњи угао троугла једнак је збиру два њему несуседна унутрашња угла. Самим тим, већи је од сваког унутрашњег угла који му није суседан.
Ако су унутрашњи углови троугла \( \alpha = 50^\circ \) и \( \beta = 60^\circ \), тада је спољашњи угао код трећег темена једнак њиховом збиру: \( \gamma_1 = 50^\circ + 60^\circ = 110^\circ \).
Оштроугли троугао: Сва три угла су оштра (мања од \(90^\circ\)).
Правоугли троугао: Има један прав угао (\(90^\circ\)). Страница наспрам правог угла је хипотенуза, а странице наспрам оштрих углова су катете.
Тупоугли троугао: Има један туп угао (већи од \(90^\circ\)).
Ако две странице неког троугла нису подударне, онда се наспрам веће странице налази већи угао.
Последице:
- Ако су два угла троугла подударна (једнака), онда су подударне и странице наспрам тих углова.
- Ако су два угла различита, наспрам већег угла налази се већа страница.
Дат је троугао \(ABC\) у коме је \( \angle A = 45^\circ \) и \( \angle B = 75^\circ \). Која страница овог троугла је најдужа?
Прво рачунамо трећи угао: \( \angle C = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Углови су \(45^\circ\), \(75^\circ\) и \(60^\circ\). Највећи угао је \( \angle B = 75^\circ \). Наспрам њега се налази страница \(AC\) (односно \(b\)), па је она најдужа.
Углови су \(45^\circ\), \(75^\circ\) и \(60^\circ\). Највећи угао је \( \angle B = 75^\circ \). Наспрам њега се налази страница \(AC\) (односно \(b\)), па је она најдужа.
Свака страница троугла мања је од збира друге две странице.
\[ a < b + c \]
\[ b < a + c \]
\[ c < a + b \]
Да би три дужи могле да образују троугао, морају да испуњавају правило неједнакости троугла. Најбржи начин за проверу је да се провери да ли је најдужа страница мања од збира друге две.
Сваки троугао има своје значајне тачке које се добијају пресеком одређених правих или дужи.
| Значајна тачка | Добија се пресеком... | Главна особина |
|---|---|---|
| Центар описане кружнице | Симетрала све три странице | Подједнако је удаљена од свих темена троугла. |
| Центар уписане кружнице | Симетрала сва три угла | Подједнако је удаљена од свих страница троугла. |
| Ортоцентар | Правих које садрже висине троугла | Положај зависи од врсте троугла (види напомену испод). |
- Код оштроуглог троугла је у унутрашњости.
- Код тупоуглог троугла је у спољашњости.
- Код правоуглог троугла поклапа се са теменом правог угла.
Задаци за вежбање
Лак задатак: Да ли постоји троугао чије су странице дужине 4 cm, 5 cm и 10 cm?
Проверавамо неједнакост троугла. Збир две краће странице мора бити већи од најдуже странице.
\( 4 + 5 = 9 \). Пошто 9 није веће од 10, овакав троугао не постоји.
\( 4 + 5 = 9 \). Пошто 9 није веће од 10, овакав троугао не постоји.
Средњи задатак: У једнакокраком троуглу угао при врху износи \( 40^\circ \). Колико износе углови на основици?
У једнакокраком троуглу углови на основици су једнаки. Нека је њихова мера \( \alpha \).
\( \alpha + \alpha + 40^\circ = 180^\circ \)
\( 2\alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \)
\( \alpha = 70^\circ \)
Углови на основици износе по \( 70^\circ \).
\( \alpha + \alpha + 40^\circ = 180^\circ \)
\( 2\alpha = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \)
\( \alpha = 70^\circ \)
Углови на основици износе по \( 70^\circ \).
Средњи задатак: Наброј где се налази ортоцентар код оштроуглог, правоуглог и тупоуглог троугла.
- Код оштроуглог троугла: унутар троугла.
- Код правоуглог троугла: у темену правог угла.
- Код тупоуглог троугла: ван троугла (у спољашњости).
- Код правоуглог троугла: у темену правог угла.
- Код тупоуглог троугла: ван троугла (у спољашњости).
Тежак задатак: Да ли је могуће да троугао има два тупа угла? Објасни зашто.
Није могуће. Туп угао је угао који је већи од \( 90^\circ \). Ако би троугао имао два таква угла, само њихов збир би био већи од \( 180^\circ \) (нпр. \( 91^\circ + 91^\circ = 182^\circ \)). Међутим, теорема каже да збир сва три угла у троуглу мора бити тачно \( 180^\circ \). Због тога троугао може имати највише један туп угао.
