Најважније из лекције
- Паралелограм: Има два пара паралелних страница. Наспрамне странице и углови су једнаки, а суседни углови дају збир \( 180^\circ \). Дијагонале се полове.
- Специјални паралелограми: Ромб (све странице једнаке), Правоугаоник (сви углови прави), Квадрат (и странице и углови једнаки).
- Трапез: Има само један пар паралелних страница (основице). Збир углова на истом краку је увек \( 180^\circ \). Може бити једнакокраки (једнаки краци) или правоугли (један крак нормалан на основице).
Паралелограм је четвороугао чије су наспрамне странице паралелне.
Особине паралелограма:
- Суседни углови су суплементни (збир им је \( 180^\circ \)).
- Наспрамни углови су међусобно подударни (једнаки).
- Наспрамне странице су међусобно подударне (једнаке дужине).
- Дијагонале се узајамно полове (секу се тачно на половини своје дужине).
Како препознати паралелограм? Четвороугао је сигурно паралелограм ако важи било шта од следећег:
- Суседни углови су суплементни.
- Наспрамни углови су подударни.
- Наспрамне странице су подударне.
- Дијагонале се узајамно полове.
- Две наспрамне странице су истовремено подударне и паралелне.
Ромб је четвороугао чије су све странице међусобно подударне.
Правоугаоник је четвороугао чији су сви углови међусобно подударни (сви су прави углови, \( 90^\circ \)).
Квадрат је четвороугао код кога су све странице и сви углови подударни.
Важни закључци:
- Сваки ромб је паралелограм.
- Сваки правоугаоник је паралелограм.
- Квадрат је истовремено и ромб и правоугаоник (и наравно, паралелограм).
Трапез је четвороугао чији је само један пар наспрамних страница паралелан.
- Основице трапеза су његове паралелне странице.
- Краци трапеза су његове непаралелне странице.
- Висина трапеза је дуж нормална на праве које садрже основице.
Углови трапеза који належу на исти крак су суплементни (збир им је \( 180^\circ \)).
Посебне врсте трапеза:
- Једнакокраки трапез: краци су му подударни (једнаких дужина).
- Правоугли трапез: један крак му је нормалан на основице (формира два права угла).
Приликом решавања задатака, често је корисно повући праву паралелну једном краку трапеза. Тиме се трапез разлаже на један паралелограм и један троугао.
Задаци за вежбање
Лаки ниво: У паралелограму \( ABCD \), мера угла код темена \( A \) је \( 50^\circ \). Израчунај мере осталих унутрашњих углова тог паралелограма.
Наспрамни углови паралелограма су једнаки, па је угао код темена \( C \) такође \( 50^\circ \).
Суседни углови су суплементни, па је угао код темена \( B \) једнак \( 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
Угао код темена \( D \) је наспраман углу \( B \), па је и он \( 130^\circ \).
Одговор: Углови су \( 50^\circ, 130^\circ, 50^\circ \) и \( 130^\circ \).
Суседни углови су суплементни, па је угао код темена \( B \) једнак \( 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \).
Угао код темена \( D \) је наспраман углу \( B \), па је и он \( 130^\circ \).
Одговор: Углови су \( 50^\circ, 130^\circ, 50^\circ \) и \( 130^\circ \).
Средњи ниво: У правоуглом трапезу један оштар угао износи \( 42^\circ \). Одреди мере свих осталих углова тог трапеза.
Правоугли трапез по дефиницији има један крак нормалан на основице, што значи да ту има два права угла (\( 90^\circ \) и \( 90^\circ \)).
Углови на другом краку морају бити суплементни. Ако је оштар угао \( 42^\circ \), онда је њему суседан туп угао на истом краку једнак \( 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ \).
Одговор: Углови трапеза су \( 90^\circ, 90^\circ, 42^\circ \) и \( 138^\circ \).
Углови на другом краку морају бити суплементни. Ако је оштар угао \( 42^\circ \), онда је њему суседан туп угао на истом краку једнак \( 180^\circ - 42^\circ = 138^\circ \).
Одговор: Углови трапеза су \( 90^\circ, 90^\circ, 42^\circ \) и \( 138^\circ \).
Тешки ниво: Збир два угла у једнакокраком трапезу износи \( 110^\circ \). Израчунај мере свих унутрашњих углова тог трапеза.
Углови на истом краку не могу имати збир \( 110^\circ \) (јер њихов збир мора бити \( 180^\circ \)).
Дакле, дати збир се односи на два угла на истој основици. Пошто је трапез једнакокраки, углови на истој основици су једнаки.
Нека су то оштри углови на доњој основици: \( 2\alpha = 110^\circ \Rightarrow \alpha = 55^\circ \).
Углови на истом краку су суплементни, па су тупи углови на горњој основици једнаки: \( 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \).
Одговор: Углови једнакокраког трапеза су \( 55^\circ, 55^\circ, 125^\circ \) и \( 125^\circ \).
Дакле, дати збир се односи на два угла на истој основици. Пошто је трапез једнакокраки, углови на истој основици су једнаки.
Нека су то оштри углови на доњој основици: \( 2\alpha = 110^\circ \Rightarrow \alpha = 55^\circ \).
Углови на истом краку су суплементни, па су тупи углови на горњој основици једнаки: \( 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ \).
Одговор: Углови једнакокраког трапеза су \( 55^\circ, 55^\circ, 125^\circ \) и \( 125^\circ \).
