Најважније из лекције
- Изометрија је пресликавање (круто кретање) које чува растојање између тачака, као и колинеарност, распоред тачака и подударност фигура.
- Основне врсте изометријских трансформација су: осна симетрија (рефлексија у односу на праву), централна симетрија (рефлексија у односу на тачку), ротација (окретање око тачке за дати угао) и транслација (померање за дати вектор).
- Композиција (узастопно извођење) две изометрије је увек нова изометрија.
- Свака изометрија је у потпуности одређена сликама само три неколинеарне тачке.
Изометрија \( \mathcal{I} \) равни \( \pi \) је функција \( \mathcal{I}: \pi \to \pi \), таква да за сваке две тачке \( A \) и \( B \) равни, ако је \( \mathcal{I}(A) = A' \) и \( \mathcal{I}(B) = B' \), онда је растојање очувано, односно дужи су подударне: \( AB \cong A'B' \).
Основне особине изометрије:
- Изометријом се колинеарне тачке сликају у колинеарне тачке и чува се њихов распоред (ако је \( A-B-C \), онда је и \( A'-B'-C' \)).
- Дуж се пресликава у дуж, права у праву, а полуправа у полуправу.
- Конвексан угао се пресликава у конвексан угао исте мере.
- Троугао се пресликава у њему подударан троугао.
Ако је изометријом \( \mathcal{I} \) троугао \( ABC \) пресликан у троугао \( A'B'C' \), а угао код темена \( A \) износи \( 45^\circ \), колика је мера угла код темена \( A' \)?
Изометрија чува подударност фигура и меру углова. Зато је мера угла код темена \( A' \) такође \( 45^\circ \).
Осна симетрија равни у односу на праву \( s \) (осу симетрије) је пресликавање које свакој тачки \( X \) додељује тачку \( X' \) тако да је права \( s \) симетрала дужи \( XX' \). Ако је \( S \) подножје нормале из \( X \) на \( s \), важи \( X-S-X' \) и \( XS \cong SX' \).
Особине осне симетрије у вези са правама:
- Ако права сече осу симетрије, пресечну тачку садржи и слика те праве.
- Ако је права паралелна оси симетрије, њена слика је такође паралелна оси.
- Ако је права нормална на осу симетрије, она се пресликава у саму себе.
Фигура је осносиметрична ако постоји права (оса) таква да се фигура осном симетријом у односу на њу пресликава у саму себе.
Централна симетрија равни у односу на тачку \( S \) (центар симетрије) је пресликавање које свакој тачки \( X \) додељује тачку \( X' \) тако да важи \( X-S-X' \) и \( XS \cong SX' \). Тачка \( S \) се пресликава у саму себе.
Особине централне симетрије у вези са правама:
- Ако права садржи центар симетрије, она се пресликава у саму себе.
- Ако права не садржи центар симетрије, она се пресликава у њој паралелну праву.
Фигура је централносиметрична ако постоји тачка у односу на коју се фигура пресликава у саму себе.
При ротацији користимо оријентисане углове. Негативна оријентација је у смеру казаљке на сату, а позитивна у смеру супротном од кретања казаљке на сату.
Ротација око тачке \( O \) за оријентисани угао \( \vec{\alpha} \) је пресликавање које тачки \( X \) додељује тачку \( X' \) тако да је \( OX \cong OX' \) и оријентисани угао \( \angle XOX' = \vec{\alpha} \).
Тачка \( O \) се назива центар ротације и приликом овог пресликавања она остаје на свом месту (пресликава се у саму себе).
Транслација за вектор \( \vec{v} \) је пресликавање које свакој тачки \( X \) додељује тачку \( X' \) тако да вектор који оне одређују одговара вектору транслације: \( \vec{XX'} = \vec{v} \).
Особине транслације:
- Свака права паралелна правцу вектора транслације пресликава се у саму себе.
- Права која није паралелна правцу вектора транслацијом се пресликава у себи паралелну праву.
Ако су \( \mathcal{A} \) и \( \mathcal{B} \) две изометрије, њихова композиција \( \mathcal{A} \circ \mathcal{B} \) (узастопно примењивање једне након друге) је такође изометрија.
Изометрија која сваку тачку равни пресликава у саму себе назива се коинциденција.
Основна теорема о изометријама равни:
Свака изометрија равни је потпуно и јединствено одређена сликама три неколинеарне тачке.
Свака изометрија равни је потпуно и јединствено одређена сликама три неколинеарне тачке.
Две фигуре \( \Phi \) и \( \Psi \) су подударне (\( \Phi \cong \Psi \)) ако постоји изометрија која пресликава \( \Phi \) на \( \Psi \). Интуитивно, то је "круто кретање" којим се фигуре могу потпуно преклопити.
Задаци за вежбање
Лак: Тачка \( A \) припада правој \( s \). Где се налази њена слика \( A' \) након осне симетрије у односу на осу \( s \)?
Према особинама осне симетрије, тачке које припадају оси симетрије пресликавају се саме у себе. Дакле, тачка \( A' \) се поклапа са тачком \( A \) (\( A' = A \)).
Средњи: Права \( p \) транслацијом за вектор \( \vec{v} \) пресликана је у праву \( p' \). Какав је међусобни положај правих \( p \) и \( p' \) ако права \( p \) није паралелна са правцем вектора \( \vec{v} \)?
Према особинама транслације, свака права која није паралелна правцу вектора транслације пресликава се у себи паралелну праву. Према томе, праве \( p \) и \( p' \) су паралелне (\( p \parallel p' \)).
Тежак: Да ли је могуће да постоје две различите изометрије које пресликавају тачке \( A, B \) и \( C \) редом у исте тачке \( A', B' \) и \( C' \), под условом да тачке \( A, B \) и \( C \) не припадају истој правој?
Није могуће. Према Основној теореми о изометријама равни, свака изометрија је јединствено и потпуно одређена сликама три неколинеарне тачке. Дакле, постоји само једна таква изометрија.
