Задаци

Question 1

Који од следећих исказа су тачни?
1) Збир два оштра угла је оштар угао.
2) Збир два права угла је опружен угао.
3) Збир два тупа угла је неконвексан угао.
4) Разлика тупог и оштрог угла је туп угао.
5) Разлика правог и оштрог угла је оштар угао.
6) Разлика тупог и правог угла је оштар угао.

Accepted Answer

Да бисмо одредили тачност наведених исказа, подсетимо се дефиниција врста углова према њиховој мери:
- Оштар угао $ \alpha $: $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $
- Прав угао: $ 90^\circ $
- Туп угао $ \beta $: $ 90^\circ < \beta < 180^\circ $
- Опружен угао: $ 180^\circ $
- Конвексан угао: $ 0^\circ < \gamma \le 180^\circ $
- Неконвексан угао: $ 180^\circ < \delta < 360^\circ $

1) Збир два оштра угла је оштар угао.
Корак 1: Анализа граничних вредности
Ако саберемо два "велика" оштра...

Question 2

Да ли је следећи исказ тачан?
Ако је $ a \perp p $ и $ b \perp p $, онда је $ a \parallel b $.

Question 3

Нека је $ p \parallel q $. Ако права $ n $ припада равни коју одређују праве $ p $ и $ q $ и нормална је на једну од ових правих, онда је нормална и на другу. Докажи.

Question 4

Нека је $ A-B-C $. Ако је $ P $ средиште дужи $ AB $ и $ Q $ средиште дужи $ AC $, докажи да је $ BC = 2PQ $.

Question 5

Нека $ C $ произвољна тачка симетрале дужи $ AB $ различита од средишта $ S $ те дужи. Докажи да је полуправа $ CS $ симетрала угла $ ACB $.

Question 6

Нека је $ S $ произвољна тачка симетрале конвексног угла $ pOq $ различита од тачке $ O $. Ако су $ P $ и $ Q $ тачке на крацима $ Op $ и $ Oq $ такве да је $ OP \cong OQ $, докажи да је $ \angle OPS \cong \angle OQS $ и да је полуправа $ OS $ симетрала угла $ PSQ $.

Question 7

Дата је дуж $ AB $. Полуправе $ Ap $ и $ Bq $ налазе се са различитих страна дужи $ AB $ и важи $ \angle BAp \cong \angle ABq $. Ако су $ P $ и $ Q $ тачке на полуправама $ Ap $ и $ Bq $ такве да је $ AP \cong BQ $, докажи да је $ \angle APB \cong \angle BQA $.

Question 8

Дата је дуж $ PQ $. Конструисане су полуправе $ Pp $ и $ Qq $ са исте стране праве $ PQ $ такве да је $ \angle QPp \cong \angle PQq $. Ако је $ P" $ тачка полуправе $ Pp $ и $ Q" $ тачка полуправе $ Qq $, при чему је $ PP" \cong QQ" $, \( \angle PP"Q \con...

Question 9

На симетрали $ Os $ угла $ aOb $ дата је тачка $ S $. Ако су $ A $ и $ B $ тачке на крацима $ Oa $ и $ Ob $ такве да је $ OA \cong OB $, докажи да је и $ SA \cong SB $.

Question 10

Дужи $ AB $ и $ CD $ су подударне и паралелне (налазе се на паралелним правама). Ако је $ AD \cap BC = \{S\} $, докажи да је $ S $ средиште и дужи $ AD $ и дужи $ BC $.

Question 11

Дате су две концентричне кружнице са заједничким центром $ O $. Ако је $ AB $ пречник кружнице мањег полупречника, а $ PQ $ пречник друге кружнице на коме није дуж $ AB $, докажи да су дужи $ AP $ и $ BQ $ подударне. Докажи затим и једнакост $ AQ \cong BP $.

Question 12

У тачки $ T $ кружнице $ k(O, r) $ конструисана је тангента и на њој су изабране тачке $ P $ и $ Q $ такве да је $ PT \cong QT $ и $ P-T-Q $. Докажи да је $ PO \cong QO $.

Question 13

Дат је угао $ aOb $. На краку $ Oa $ дате су тачке $ A_1 $ и $ A_2 $, а на краку $ Ob $ тачке $ B_1 $ и $ B_2 $ такве да је $ OA_1 \cong OB_1 $ и $ OA_2 \cong OB_2 $. Докажи да је $ A_1B_2 \cong B_1A_2 $.

Question 14

Докажи да су два правоугла троугла подударна ако су катете једног троугла подударне катетама другог.

Question 15

Докажи да су подударна два правоугла троугла ако су им подударне хипотенузе и по један оштар угао.

Question 16

Нека су $ \Delta ABC $ и $ \Delta A"B"C" $ два троугла таква да је $ AB \cong A"B" $, $ AC \cong A"C" $ и $ CD \cong C"D" $, при чему су $ D $ и $ D" $ средишта дужи $ AB $ и $ A"B" $. Докажи да је \( \Delta ABC \cong \Del...

Question 17

Докажи да су троуглови $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ подударни ако је $ \angle BAC \cong \angle B_1A_1C_1 $, $ \angle ABC \cong \angle A_1B_1C_1 $ и $ CD \cong C_1D_1 $, при чему су $ D $ и $ D_1 $ подножја висина из $ C $ и $ C_1 $.

Question 18

Да ли троуглови $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ морају бити подударни ако је $ AC \cong A_1C_1 $, $ BC \cong B_1C_1 $ и $ CD \cong C_1D_1 $, при чему су $ D $ и $ D_1 $ подножја висина из $ C $ и $ C_1 $?

Question 19

Докажи да два подударна троугла имају подударне одговарајуће висине.

Question 20

Докажи да два подударна троугла имају подударне одговарајуће тежишне дужи.

Question 21

Дати су троуглови $ ABC $ и $ A"B"C" $ такви да је $ AB \cong A"B" $ и $ AC \cong A"C" $. Докажи да је $ BC \cong B"C" $ ако је $ \angle BAC \cong \angle B"A"C" $.

Question 22

Докажи да је $ \Delta ABC \cong \Delta A"B"C" $ ако су $ \Delta ABC $ и $ \Delta A"B"C" $ два троугла таква да је $ AB \cong A"B" $, $ CD \cong C"D" $ и $ CE \cong C"E" $, при чему су $ D $ и $ D" $ подножја висина из \...

Question 23

Докажи да су троуглови $ ABC $ и $ A"B"C" $ подударни ако су подударне странице $ AB $ и $ A"B" $, висине $ AA_1 $ и $ A"A"_1 $ и висине $ BB_1 $ и $ B"B"_1 $.

Question 24

Нека су $ AA" $ и $ BB" $ подножја висина из $ A $ и $ B $ троугла $ ABC $. Докажи да је $ AC \cong BC $ ако и само ако је $ AA" \cong BB" $.

Question 25

Докажи да су подударне тежишне дужи које одговарају крацима једнакокраког троугла.

Question 26

Докажи да су подударне висине које одговарају крацима једнакокраког троугла.

Question 27

Ако је један угао троугла једнак збиру друга два угла, докажи да је тај троугао правоугли.

Question 28

Докажи да је разлика углова које образује симетрала угла на страници троугла, која је наспрам одговарајућег угла, једнака разлици углова на тој страници.

Question 29

Докажи да је збир ма која два спољашња угла неког троугла већи од опруженог угла.

Question 30

У унутрашњости троугла $ ABC $ дата је тачка $ P $. Докажи да је $ \angle APB > \angle ACB $.

Question 31

Нека су $ aOb $ и $ a"Ob" $ два конвексна угла таква да су нормалне праве на којима се налазе краци $ Oa $ и $ O"a" $ и нормалне су праве на којима се налазе краци $ Ob $ и $ O"b" $. Докажи следећа тврђења:
1) Ако су оба угла оштра или оба тупа, онда су ови...

Question 32

Докажи да су два једнакокрака троугла подударна ако су им подударне основице и углови у врху.

Question 33

Ако су подударне две тежишне дужи неког троугла, докажи да је тај троугао једнакокраки.

Question 34

Ако је тежишна дуж неког троугла уједно и висина из одговарајућег темена, докажи да је тај троугао једнакокраки.

Question 35

Ако висина неког троугла припада симетрали угла из одговарајућег темена, докажи да је тај троугао једнакокраки.

Question 36

Ако је тежишна дуж троугла једнака половини одговарајуће странице, докажи да је тај троугао правоугли са правим углом из темена у коме је конструисана тежишна дуж.

Question 37

Кроз теме $ A $ троугла $ ABC $ конструисана је права $ p $ паралелна са $ BC $. Симетрале углова $ ABC $ и $ ACB $ секу праву $ p $ у тачкама $ D $ и $ E $. Докажи да је $ DE \cong AB + AC $.

Question 38

Ако је $ AA" $ тежишна дуж $ \Delta ABC $ и $ AB < AC $, који од углова $ \angle AA"B $ и $ \angle AA"C $ је већи?

Question 39

Ако је $ AA" $ висина $ \Delta ABC $ и $ AB < AC $, докажи да је $ \angle BAA" < \angle CAA" $.

Question 40

1) Докажи да је свака тежишна дуж троугла мања од полуобима тог троугла.
2) Докажи да је збир тежишних дужи већи од полуобима троугла.

Question 41

У унутрашњости троугла $ ABC $ дата је тачка $ P $. Докажи да је збир $ PA + PB + PC $ већи од полуобима троугла $ ABC $.

Question 42

У унутрашњости троугла $ ABC $ дата је тачка $ P $. Докажи да је $ AC + CB > AP + PB $.

Question 43

У унутрашњости троугла $ ABC $ дата је тачка $ P $. Докажи да је збир $ PA + PB + PC $ мањи од обима троугла $ ABC $.

Question 44

У унутрашњости троугла $ ABC $ дата је тачка $ P $. Докажи неједнакости $ PA + PB + PC < AB + BC + CA < 2(PA + PB + PC) $.

Question 45

Докажи да је збир висина троугла мањи од обима тог троугла.

Question 46

Кроз тачку $ M $ основице $ AB $ једнакокраког троугла $ ABC $ конструисана је права која сече праве на којима се налазе краци $ AC $ и $ BC $ у тачкама $ P $ и $ Q $ тако да је $ M $ средиште дужи $ PQ $. Докажи да је $ AP \cong BQ $.

Question 47

Тачка $ S $ је пресек симетрала углова код темена $ A $ и $ B $ троугла $ ABC $. Нека права $ p $ која садржи $ S $ и паралелна је са $ AB $ сече страницу $ AC $ у тачки $ P $, а страницу $ BC $ у тачки $ Q $. Докажи да је $ PQ \cong AP + BQ $.

Question 48

Ако је $ M $ произвољна тачка странице $ AB $ троугла $ ABC $ таква да је $ A-M-B $, докажи да је $ CM $ краћа од $ AC $ или од $ BC $.

Question 49

1) Докажи да је симетрала правог угла правоуглог троугла истовремено и симетрала угла између висине и тежишне дужи које одговарају хипотенузи.
2) Ако су $ \alpha $ и $ \beta $ оштри углови правоуглог троугла, одреди угао између висине и тежишне дужи које одговарају хипотенузи.
3) Ако је угао изм...

Question 50

Нека је $ CC" $ тежишна дуж $ \Delta ABC $ и $ D $ тачка праве $ CC" $ таква да је $ C-C"-D $ и $ CC" \cong C"D $. Докажи да је $ BD \cong AC $, као и да је $ BD \parallel AC $.

Question 51

Докажи да је $ \Delta ABC \cong \Delta A"B"C" $ ако су $ \Delta ABC $ и $ \Delta A"B"C" $ два троугла таква да је $ AB \cong A"B" $, $ AC \cong A"C" $ и $ AD \cong A"D" $, при чему су $ AD $ и $ A"D" $ тежишне дужи...

Question 52

1) Докажи да је свака тежишна дуж троугла мања од полузбира суседних страница.
2) Докажи да је збир тежишних линија троугла мањи од обима троугла.

Question 53

Докажи да је теме највећег угла најближе центру уписаног круга.

Question 54

Ако центар описане и центар уписане кружнице неког троугла представљају исту тачку, докажи да је тај троугао једнакостраничан.

Question 55

Кружнице $ k_1(O_1, r_1) $ и $ k_2(O_2, r_2) $ додирују се споља у тачки $ T $. Нека су $ p $ и $ q $ праве које садрже тачку $ T $ и нека су $ P_1 $ и $ P_2 $ тачке (различите од $ T $) у којима права $ p $ сече кружнице $ k_1 $ и $ k_2 $, а $ Q_1 $ и $ Q_2 $ тачке у кој...

Question 56

Нека је $ T $ произвољна тачка кружнице $ k(O, r) $ и $ t $ тангента конструисана на ову кружницу у тачки $ T $. На правој $ t $ изабране су произвољно две тачке $ P $ и $ Q $ такве да је $ P-T-Q $, а затим су из ових тачака конструисане тангенте $ p $ и $ q $ на $ k(O, r) $ ко...

Question 57

Кружнице $ k_1 $ и $ k_2 $ секу се у тачкама $ A $ и $ B $. Ако су $ C $ и $ D $ дијаметрално супротне тачке тачки $ A $ у кружницама $ k_1 $ и $ k_2 $, докажи да су тачке $ B, C $ и $ D $ колинеарне.

Question 58

Дат је троугао $ ABC $. Над страницом $ AB $ као над пречником конструисана је кружница. Докажи да је угао у темену $ C $:
1) оштар, ако теме припада спољашњости конструисане кружнице;
2) туп, ако теме припада унутрашњости конструисане кружнице.

Question 59

Докажи да се симетрала угла и симетрала наспрамне странице троугла секу на кружници описаној око тог троугла.

Question 60

Нека је $ H $ ортоцентар и $ O $ центар описане кружнице троугла $ ABC $. Ако је $ A" $ средиште странице $ BC $, докажи да је $ OA" \parallel AH $, као и да је $ OA" \cong \frac{1}{2} AH $.
Упутство. Уочи тачку $ D $ која је дијаметрално супротна темену $ C $ у одно...

Question 61

Нека је $ H $ ортоцентар и $ O $ центар описане кружнице троугла $ ABC $. Ако је $ A" $ средиште странице $ BC $, а $ M $ и $ N $ су средишта дужи $ AH $ и $ AA" $, докажи да су тачке $ O, M $ и $ N $ колинеарне и да је $ N $ средиште дужи $ OM $.

Question 62

Докажи да средишта страница, подножја висина и средишта дужи које спајају ортоцентар са теменима троугла припадају једној кружници.
Упутство. Погледај слику десно. Докажи најпре да је $ A"B"A_1B_1 $ правоугаоник.

Question 63

Нека је $ H $ ортоцентар и $ O $ центар описане кружнице троугла. Докажи да је средиште дужи $ OH $ центар круга девет тачака датог троугла. Докажи затим и да је полупречник круга девет тачака два пута краћи од полупречника описаног круга.

Question 64

Докажи да је у конвексном четвороуглу збир два спољашња угла једнак збиру два унутрашња угла који су несуседни тим спољашњим угловима.

38. Задаци

Изабери решење задатка:

Најважније из лекције

Задаци за вежбање

Савладај
домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:

Математика

Физика

Хемија

Историја

Биологија

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – моћан алат за решавање задатака на основу слике/текста