Најважније из лекције
Скупови и инклузија: Елемент припада скупу (\( \in \)). Скуп је подскуп другог скупа (\( \subseteq \)) ако су сви његови елементи и у том другом скупу. Два скупа су једнака ако је \( A \subseteq B \) и \( B \subseteq A \). Партитивни скуп \( \mathcal{P}(S) \) садржи све подскупове скупа \( S \).
Операције:
Операције:
- Пресек (\( \cap \)): Заједнички елементи. Сродна логичка операција: И (\( \land \)).
- Унија (\( \cup \)): Сви елементи оба скупа. Сродна логичка операција: ИЛИ (\( \lor \)).
- Разлика (\( \setminus \)): Елементи првог скупа који нису у другом.
- Комплемент (\( A^c \)): Све што припада универзалном скупу, а не припада скупу \( A \).
Скуп настаје окупљањем објеката у целину. Свака од ствари које чине ту целину назива се елемент тог скупа.
Да је \( x \) елемент скупа \( S \) записује се: \( x \in S \).
Да \( x \) није елемент скупа \( S \) записује се: \( x \notin S \).
Да \( x \) није елемент скупа \( S \) записује се: \( x \notin S \).
Сваки скуп је потпуно одређен својим елементима. Два скупа су једнака ако и само ако имају исте елементе.
Скупове можемо задати навођењем свих елемената (нпр. \( A = \{1, 2, 3\} \)) или навођењем својства помоћу којег издвајамо објекте: \( S = \{x \mid \mathcal{S}(x)\} \).
Празан скуп је скуп који нема ниједан елемент. Означава се са \( \varnothing \). Може се описати као \( \varnothing = \{x \mid x \neq x\} \).
Скуп првих 100 природних бројева се не мора набрајати, већ се може записати преко својства: \( A = \{x \mid x \in \mathbb{N} \land x \le 100\} \).
У математици се често користе стандардни скупови бројева, који имају своје посебне ознаке.
- Скуп природних бројева: \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, ...\} \)
- Скуп целих бројева: \( \mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} \)
- Скуп рационалних бројева: \( \mathbb{Q} = \{ \frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N} \} \)
- Скуп реалних бројева: \( \mathbb{R} \) (обухвата све рационалне и ирационалне бројеве)
Скуп \( A \) је подскуп скупа \( B \), у ознаци \( A \subseteq B \), ако и само ако је сваки елемент скупа \( A \) уједно и елемент скупа \( B \). То се логички записује као импликација: \( x \in A \Rightarrow x \in B \).
Скуп \( A \) је прави (строги) подскуп скупа \( B \), у ознаци \( A \subset B \), ако и само ако је \( A \subseteq B \), али \( B \not\subseteq A \) (скупови нису једнаки).
Два скупа су једнака ако и само ако су међусобно подскупови један другог:
\[ A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \land B \subseteq A \]
Својства инклузије:
- Празан скуп је подскуп сваког скупа: \( \varnothing \subseteq A \)
- Сваки скуп је подскуп самог себе: \( A \subseteq A \)
- Транзитивност: Ако је \( A \subseteq B \) и \( B \subseteq C \), онда је \( A \subseteq C \)
Партитивни скуп датог скупа \( S \), у ознаци \( \mathcal{P}(S) \), јесте скуп свих његових подскупова: \( \mathcal{P}(S) = \{X \mid X \subseteq S\} \).
Одредите партитивни скуп скупа \( A = \{1, 2\} \).
Подскупови скупа \( A \) су: празан скуп, скупови са једним елементом и сам скуп \( A \).
Одговор: \( \mathcal{P}(A) = \{ \varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \} \).
Одговор: \( \mathcal{P}(A) = \{ \varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \} \).
Пресек скупова: \( A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\} \)
(Садржи само елементе који се налазе у оба скупа истовремено)
(Садржи само елементе који се налазе у оба скупа истовремено)
Унија скупова: \( A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\} \)
(Садржи све елементе који се налазе бар у једном од скупова)
(Садржи све елементе који се налазе бар у једном од скупова)
Разлика скупова: \( A \setminus B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\} \)
(Садржи елементе који су у скупу A, али нису у скупу B)
(Садржи елементе који су у скупу A, али нису у скупу B)
Скупови су дисјунктни ако немају заједничких елемената, односно ако је њихов пресек празан скуп: \( A \cap B = \varnothing \).
Ако је \( A \subseteq S \), онда се разлика \( S \setminus A \) назива комплемент скупа \( A \) у односу на скуп \( S \), у ознаци \( A^c \). Важи: \( A \cup A^c = S \) и \( A \cap A^c = \varnothing \).
Дати су скупови \( A = \{1, 2, 3, 4\} \) и \( B = \{3, 4, 5, 6\} \). Одредите њихов пресек, унију и разлику \( A \setminus B \).
- \( A \cap B = \{3, 4\} \) (заједнички елементи)
- \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) (сви елементи, без понављања)
- \( A \setminus B = \{1, 2\} \) (оно што је у A, а није у B)
Скуповни идентитети се доказују свођењем на логичке таутологије. Операције са скуповима директно одговарају логичким операцијама.
- \( x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \lor x \in B \) (унија одговара дисјункцији)
- \( x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \land x \in B \) (пресек одговара конјункцији)
- \( x \in A \setminus B \Leftrightarrow x \in A \land \neg(x \in B) \) (разлика одговара конјункцији са негацијом)
Де Морганов закон: \( (A \cap B)^c = A^c \cup B^c \).
Ово директно произилази из логичке таутологије: \( \neg(p \land q) \Leftrightarrow \neg p \lor \neg q \).
Ово директно произилази из логичке таутологије: \( \neg(p \land q) \Leftrightarrow \neg p \lor \neg q \).
Задаци за вежбање
Лак: Запишите скуп \( A \) набрајањем његових елемената, ако је \( A = \{x \mid x \in \mathbb{N} \land x < 6\} \).
Природни бројеви строго мањи од 6 су 1, 2, 3, 4 и 5.
Одговор: \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \).
Одговор: \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \).
Средњи: Дати су скупови \( A = \{x, y, z\} \) и \( B = \{z, w, k\} \). Да ли су ови скупови дисјунктни? Одредите \( B \setminus A \).
Скупови нису дисјунктни јер имају заједнички елемент: \( A \cap B = \{z\} \neq \varnothing \).
Разлика \( B \setminus A \) садржи елементе који су у \( B \), али нису у \( A \).
Одговор: Нису дисјунктни. \( B \setminus A = \{w, k\} \).
Разлика \( B \setminus A \) садржи елементе који су у \( B \), али нису у \( A \).
Одговор: Нису дисјунктни. \( B \setminus A = \{w, k\} \).
Тежак: Нека је дат скуп \( S = \{a\} \). Да ли је тачно тврђење да је \( a \in \mathcal{P}(S) \)? Образложите.
Прво морамо одредити партитивни скуп скупа \( S \). То је скуп свих подскупова скупа \( S \).
\( \mathcal{P}(S) = \{\varnothing, \{a\}\} \).
Елементи скупа \( \mathcal{P}(S) \) су скупови (\( \varnothing \) и \( \{a\} \)), а не сами објекти. Због тога елемент \( a \) не припада партитивном скупу, већ партитивном скупу припада скуп \( \{a\} \).
Одговор: Не, тврђење није тачно. Тачно је \( \{a\} \in \mathcal{P}(S) \).
\( \mathcal{P}(S) = \{\varnothing, \{a\}\} \).
Елементи скупа \( \mathcal{P}(S) \) су скупови (\( \varnothing \) и \( \{a\} \)), а не сами објекти. Због тога елемент \( a \) не припада партитивном скупу, већ партитивном скупу припада скуп \( \{a\} \).
Одговор: Не, тврђење није тачно. Тачно је \( \{a\} \in \mathcal{P}(S) \).
