Најважније из лекције
Алгебарски изрази: Граде се од константи, променљивих и операција. Полиноми се групишу према степену и сређују од највећег ка најмањем изложиоцу.
Растављање: Кључни корак за скраћивање израза и налажење НЗД/НЗС. Најчешће се користи извлачење заједничког чиниоца, разлика квадрата \( A^2 - B^2 \) и квадрат бинома.
Безуова теорема: Омогућава брзо налажење остатка без стварног дељења полинома: остатак дељења \( P(x) \) са \( x-a \) је \( P(a) \).
Рационални изрази: Понашају се као разломци и захтевају постављање услова да именилац не сме бити нула.
Неједнакости: Квадрат сваког броја је ненегативан, а за позитивне бројеве аритметичка средина је увек већа или једнака геометријској (\( \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} \)).
Растављање: Кључни корак за скраћивање израза и налажење НЗД/НЗС. Најчешће се користи извлачење заједничког чиниоца, разлика квадрата \( A^2 - B^2 \) и квадрат бинома.
Безуова теорема: Омогућава брзо налажење остатка без стварног дељења полинома: остатак дељења \( P(x) \) са \( x-a \) је \( P(a) \).
Рационални изрази: Понашају се као разломци и захтевају постављање услова да именилац не сме бити нула.
Неједнакости: Квадрат сваког броја је ненегативан, а за позитивне бројеве аритметичка средина је увек већа или једнака геометријској (\( \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} \)).
Изрази се граде од променљивих (слова попут \( x, y, a \)) и константи (бројева) повезаних знацима за математичке операције (\( +, -, \cdot, : \)) и заградама.
Дрво израза је визуелни приказ структуре израза и редоследа израчунавања.
Изрази се означавају великим словима латинице, нпр. \( A(x, y) \), где су у загради наведене променљиве од којих израз зависи. Вредност израза за конкретне бројеве добија се заменом променљивих тим бројевима.
Моном је израз у којем је једина дозвољена операција множење (производ константе и променљивих). Полином (цео алгебарски израз) је збир или разлика монома. Збир два неслична монома је бином, а три је трином.
Два израза су еквивалентна ако су њихове вредности једнаке за сваки избор вредности променљивих.
Важне формуле за трансформацију и растављање:
\[ (A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2 \]
\[ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \]
\[ (A \pm B)^3 = A^3 \pm 3A^2B + 3AB^2 \pm B^3 \]
\[ A^3 \pm B^3 = (A \pm B)(A^2 \mp AB + B^2) \]
Растављање на чиниоце је поступак записивања збира или разлике у облику производа (извлачењем заједничког чиниоца, груписањем или применом формула).
Канонски облик полинома је: \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \).
Највећи изложилац \( n \) представља степен полинома. Број \( a_n \) је водећи коефицијент, а \( a_0 \) слободни члан.
Теорема о дељењу: За свака два полинома \( A \) и \( B \) (\( B \neq 0 \)), постоје јединствени количник \( Q \) и остатак \( R \) тако да важи:
\[ A = B \cdot Q + R \]
где је степен остатка \( R \) мањи од степена делиоца \( B \) или је \( R = 0 \).
Безуова теорема: Остатак при дељењу полинома \( P(x) \) биномом \( (x - a) \) једнак је вредности полинома у тачки \( a \), односно \( R = P(a) \). Број \( a \) је корен полинома ако је \( P(a) = 0 \).
Највећи заједнички делилац (НЗД) полинома \( A \) и \( B \) је полином највећег могућег степена који дели оба полинома без остатка.
Најмањи заједнички садржалац (НЗС) је полином најмањег степена који је дељив и са \( A \) и са \( B \).
Да бисмо одредили НЗД и НЗС, полиноме прво морамо раставити на просте чиниоце.
Веза између НЗД и НЗС два полинома:
\[ A \cdot B = \text{НЗД}(A, B) \cdot \text{НЗС}(A, B) \]
Рационални алгебарски израз је израз у којем учествује дељење променљивим (количник два полинома).
Дељење нулом није дефинисано! Зато рационални израз није дефинисан за оне вредности променљивих за које је именилац једнак нули.
Израз \( \frac{x+5}{(x-2)(x+3)} \) је дефинисан под условом: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -3 \).
Операције са рационалним изразима (скраћивање, проширивање, сабирање, множење, дељење) изводе се потпуно аналогно операцијама са обичним разломцима, при чему имениоци морају бити различити од нуле.
Неједнакост квадрата: За свака два реална броја \( a \) и \( b \) важи:
\[ a^2 + b^2 \ge 2ab \]
АГ неједнакост: За произвољне ненегативне бројеве \( x \) и \( y \), аритметичка средина је већа или једнака геометријској средини:
\[ \frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy} \]
Једнакост важи ако и само ако је \( x = y \).
Из ових неједнакости произилази и важно правило за позитивне бројеве: \( x + \frac{1}{x} \ge 2 \).
Задаци за вежбање
Лак: Одредите услов под којим је дефинисан рационални алгебарски израз: \( R(x) = \frac{3x - 1}{x^2 - 16} \).
Да би израз био дефинисан, именилац мора бити различит од нуле:
\( x^2 - 16 \neq 0 \)
\( (x - 4)(x + 4) \neq 0 \)
Одговор: Израз је дефинисан за \( x \neq 4 \) и \( x \neq -4 \).
\( x^2 - 16 \neq 0 \)
\( (x - 4)(x + 4) \neq 0 \)
Одговор: Израз је дефинисан за \( x \neq 4 \) и \( x \neq -4 \).
Средњи: Одредите НЗД и НЗС за полиноме \( A(x) = x^2 - 9 \) и \( B(x) = x^2 - 3x \).
Прво растављамо полиноме на чиниоце:
\( A(x) = x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
\( B(x) = x(x - 3) \)
Заједнички чинилац је \( (x - 3) \), па је:
НЗД: \( x - 3 \)
За НЗС узимамо све чиниоце са највећим изложиоцем:
НЗС: \( x(x - 3)(x + 3) \)
\( A(x) = x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \)
\( B(x) = x(x - 3) \)
Заједнички чинилац је \( (x - 3) \), па је:
НЗД: \( x - 3 \)
За НЗС узимамо све чиниоце са највећим изложиоцем:
НЗС: \( x(x - 3)(x + 3) \)
Тежак: Користећи Безуову теорему, одредите остатак при дељењу полинома \( P(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5x - 7 \) биномом \( x - 2 \). Да ли је 2 корен овог полинома?
Према Безуовој теореми, остатак \( R \) при дељењу са \( x - 2 \) једнак је вредности полинома за \( x = 2 \), односно \( P(2) \).
\( P(2) = 2(2)^3 - 4(2)^2 + 5(2) - 7 \)
\( P(2) = 2 \cdot 8 - 4 \cdot 4 + 10 - 7 \)
\( P(2) = 16 - 16 + 10 - 7 = 3 \)
Одговор: Остатак је \( R = 3 \). Пошто остатак није 0, број 2 није корен овог полинома.
\( P(2) = 2(2)^3 - 4(2)^2 + 5(2) - 7 \)
\( P(2) = 2 \cdot 8 - 4 \cdot 4 + 10 - 7 \)
\( P(2) = 16 - 16 + 10 - 7 = 3 \)
Одговор: Остатак је \( R = 3 \). Пошто остатак није 0, број 2 није корен овог полинома.
