Најважније из лекције
Талесова теорема: Паралелне праве одсецају пропорционалне дужи на трансверзалама (правама које их секу).
\( AB : CD = A_1B_1 : C_1D_1 \)
Праве које се секу: Ако паралелне праве секу две праве које се спајају у тачки \( O \), важе пропорције:
1. \( \frac{OA}{OA_1} = \frac{OB}{OB_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \)
2. \( \frac{OA}{OB} = \frac{OA_1}{OB_1} = \frac{AA_1}{BB_1} \)
Примена: Теорема се користи за конструктивно множење и дељење дужи, као и за доказивање дистрибутивности множења вектора реалним бројем: \( k(\vec{x} + \vec{y}) = k\vec{x} + k\vec{y} \).
\( AB : CD = A_1B_1 : C_1D_1 \)
Праве које се секу: Ако паралелне праве секу две праве које се спајају у тачки \( O \), важе пропорције:
1. \( \frac{OA}{OA_1} = \frac{OB}{OB_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \)
2. \( \frac{OA}{OB} = \frac{OA_1}{OB_1} = \frac{AA_1}{BB_1} \)
Примена: Теорема се користи за конструктивно множење и дељење дужи, као и за доказивање дистрибутивности множења вектора реалним бројем: \( k(\vec{x} + \vec{y}) = k\vec{x} + k\vec{y} \).
Ако су размере два пара дужи једнаке, кажемо да је један пар дужи пропорционалан другом пару.
Међусобно паралелне праве \( a, b, c, d \) секу праве \( p \) и \( p_1 \) редом у \( A, B, C, D \), односно \( A_1, B_1, C_1, D_1 \). Тада су одговарајући одсечци пропорционални.
\[ AB : CD = A_1B_1 : C_1D_1 \]
Ако паралелне праве секу две праве \( p \) и \( p_1 \), при чему су дужине одсечака на правој \( p \) редом \( AB = 4 \) и \( CD = 6 \), а дужина одсечка на правој \( p_1 \) је \( A_1B_1 = 10 \), колика је дужина одсечка \( C_1D_1 \)?
На основу Талесове теореме важи пропорција:
\[ 4 : 6 = 10 : C_1D_1 \]
\[ 4 \cdot C_1D_1 = 6 \cdot 10 \]
\[ 4 \cdot C_1D_1 = 60 \implies C_1D_1 = 15 \]
Када се две праве (\( p \) и \( p_1 \)) секу у једној тачки (\( O \)), а пресецају их две паралелне праве (\( a \) и \( b \)), добијамо важне пропорције које се често користе у задацима.
Нека се праве \( p \) и \( p_1 \) секу у тачки \( O \). Паралелне праве \( a \) и \( b \) секу праву \( p \) у тачкама \( A \) и \( B \), а праву \( p_1 \) у тачкама \( A_1 \) и \( B_1 \). Тада важе следеће једнакости:
Прва последица:
\[ \frac{OA}{OA_1} = \frac{OB}{OB_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \]
Друга последица (укључује одсечке на паралелним правама):
\[ \frac{OA}{OB} = \frac{OA_1}{OB_1} = \frac{AA_1}{BB_1} \]
Талесова теорема и њене последице омогућавају конструктивно множење и дељење дужи (конструисање дужи чија је дужина једнака производу или количнику две дате дужи).
Применом Талесове теореме доказује се особина множења вектора реалним бројем. За сваки реалан број \( k \) и све векторе \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \):
\[ k(\vec{x} + \vec{y}) = k\vec{x} + k\vec{y} \]
Размера усмерених дужи \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) (ознака \( \frac{\vec{AB}}{\vec{CD}} \)) дефинише се само када су дужи колинеарне (истог правца). Тада је размера јединствен број \( k \) такав да је \( \vec{AB} = k\vec{CD} \).
Векторски облик Талесове теореме за праве које се секу у тачки \( O \) и пресечене су паралелним правама:
\[ \frac{\vec{OA}}{\vec{OB}} = \frac{\vec{OA_1}}{\vec{OB_1}} = \frac{\vec{AA_1}}{\vec{BB_1}} \]
Задаци за вежбање
Лак: Праве \( p \) и \( p_1 \) секу се у тачки \( O \). Паралелне праве \( a \) и \( b \) их пресецају тако да је \( OA = 5 \), \( OB = 15 \), и \( OA_1 = 4 \). Израчунај дужину дужи \( OB_1 \).
Користимо пропорцију из последице Талесове теореме:
\[ \frac{OA}{OB} = \frac{OA_1}{OB_1} \]
\[ \frac{5}{15} = \frac{4}{OB_1} \]
\[ \frac{1}{3} = \frac{4}{OB_1} \implies OB_1 = 3 \cdot 4 = 12 \]
Одговор: Дужина дужи \( OB_1 \) је 12.
Средњи: Паралелне праве \( a \) и \( b \) секу праве \( p \) и \( p_1 \) које се секу у тачки \( O \). Дужине одсечака на паралелним правама су \( AA_1 = 6 \) и \( BB_1 = 9 \). Ако је \( OA = 8 \), одреди дужину дужи \( AB \).
Користимо формулу:
\[ \frac{OA}{OB} = \frac{AA_1}{BB_1} \]
Заменимо познате вредности:
\[ \frac{8}{OB} = \frac{6}{9} \]
\[ \frac{8}{OB} = \frac{2}{3} \implies 2 \cdot OB = 24 \implies OB = 12 \]
Пошто се тачка \( A \) налази између \( O \) и \( B \), дужина дужи \( AB \) је:
\[ AB = OB - OA = 12 - 8 = 4 \]
Одговор: Дужина дужи \( AB \) је 4.
Тежак: Нека се праве \( p \) и \( p_1 \) секу у тачки \( O \). Паралелне праве \( a \) и \( b \) секу праву \( p \) у тачкама \( A \) и \( B \), а праву \( p_1 \) у тачкама \( A_1 \) и \( B_1 \). Дато је \( OA = x \), \( AB = x + 2 \), \( OA_1 = 3 \) и \( A_1B_1 = 4 \). Одреди вредност непознате \( x \).
Из последице Талесове теореме знамо да је размера одсечака једнака:
\[ \frac{OA}{OA_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \]
Замењујемо дате изразе:
\[ \frac{x}{3} = \frac{x + 2}{4} \]
Множимо унакрсно:
\[ 4x = 3(x + 2) \]
\[ 4x = 3x + 6 \]
\[ x = 6 \]
Одговор: Вредност непознате \( x \) је 6.
