Најважније из лекције
- Хомотетија \( \mathcal{H}_{O,k} \) дефинисана је релацијом \( \vec{OX'} = k\vec{OX} \).
- Својства: Дужи се пресликавају у дужи (\( X'Y' = |k|XY \)), праве у паралелне праве, а углови остају подударни. Распоред тачака се чува.
- Композиција: Две хомотетије са истим центром дају нову хомотетију чији је коефицијент једнак производу почетних коефицијената (\( k = k_1 \cdot k_2 \)).
- Ојлерова права: Хомотетија у троуглу доказује колинеарност ортоцентра (\( H \)), тежишта (\( T \)) и центра описаног круга (\( O \)), при чему важи \( H - T - O \) и \( HT = 2TO \).
Хомотетија равни са центром \( O \) и коефицијентом \( k \) (\( k \neq 0 \)) је пресликавање које свакој тачки \( X \) додељује тачку \( X' \) такву да важи: \( \vec{OX'} = k\vec{OX} \).
Ознака за хомотетију је \( \mathcal{H}_{O,k} \).
Хомотетија се често назива и перспективна сличност.
Слика било које тачке \( X \) може се једноставно конструисати ако је \( k \) рационалан број (\( k = \pm m/n \)) тако што се дуж \( OX \) подели на \( n \) једнаких делова, а затим се надовеже \( m \) таквих делова од тачке \( O \). Смер зависи од знака броја \( k \).
Ако су \( X' \) и \( Y' \) слике тачака \( X \) и \( Y \) при хомотетији \( \mathcal{H}_{O,k} \), тада важи:
\[ \vec{X'Y'} = k\vec{XY} \]
Основна својства пресликавања:
- Очување распореда: Ако је тачка \( Y \) између \( X \) и \( Z \) (\( X - Y - Z \)), онда је и њена слика \( Y' \) између слика \( X' \) и \( Z' \) (\( X' - Y' - Z' \)).
- Пресликавање дужи: Хомотетија дуж пресликава у дуж (\( \mathcal{H}_{O,k}(AB) = A'B' \)).
- Пресликавање правих: Хомотетија праву пресликава у њој паралелну праву (\( p \parallel p' \)).
- Пресликавање углова: Хомотетијом се угао пресликава у њему подударан угао.
Хомотетија је потпуно одређена ако је познат њен центар \( O \) и слика \( X' \) једне тачке \( X \). Коефицијент се тада рачуна као размера \( k = \vec{OX'} : \vec{OX} \).
Композиције хомотетија са истим центром:
- \( \mathcal{H}_{O,k_2} \circ \mathcal{H}_{O,k_1} = \mathcal{H}_{O, k_1 \cdot k_2} \)
- \( \mathcal{H}_{O,k} \circ \mathcal{H}_{O,1/k} = \mathcal{E} \) (коинциденција, идентитет)
- \( \mathcal{H}_{O,k_2} \circ \mathcal{H}_{O,k_1} = \mathcal{H}_{O,k_1} \circ \mathcal{H}_{O,k_2} \) (комутативност)
Применом хомотетије \( \mathcal{H}_{T,-1/2} \) (где је \( T \) тежиште) на троугао \( \triangle ABC \), добија се троугао чија су темена средишта страница почетног троугла (\( \triangle A'B'C' \)).
Из ове хомотетије произилазе важна својства за сваки троугао:
- Ортоцентар \( H \) полазног троугла се пресликава у центар описаног круга \( O \).
- Тачке \( H \), \( T \) и \( O \) су колинеарне (\( H - T - O \)) и важи \( HT = 2TO \). Права која их садржи назива се Ојлерова права.
- Описани круг око \( \triangle A'B'C' \) назива се Ојлеров круг (или круг девет тачака).
Задаци за вежбање
Лак: Тачка \( X' \) је слика тачке \( X \) при хомотетији са центром \( O \) и коефицијентом \( k = 3 \). Ако је дужина дужи \( OX = 5 \text{ cm} \), колика је дужина дужи \( OX' \)?
На основу дефиниције хомотетије важи \( \vec{OX'} = k\vec{OX} \).
Пошто су вектори истог смера (јер је \( k > 0 \)), дужина се рачуна као: \( |OX'| = |k| \cdot |OX| \).
\( |OX'| = 3 \cdot 5 = 15 \text{ cm} \).
Пошто су вектори истог смера (јер је \( k > 0 \)), дужина се рачуна као: \( |OX'| = |k| \cdot |OX| \).
\( |OX'| = 3 \cdot 5 = 15 \text{ cm} \).
Средњи: Дате су две хомотетије са истим центром \( O \): прва има коефицијент \( k_1 = 4 \), а друга коефицијент \( k_2 = -1/2 \). Одредити коефицијент \( k \) резултујуће хомотетије која се добија њиховом композицијом.
Користећи правило за композицију хомотетија са заједничким центром \( \mathcal{H}_{O,k_2} \circ \mathcal{H}_{O,k_1} = \mathcal{H}_{O, k_1 \cdot k_2} \), множимо њихове коефицијенте:
\( k = k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \).
Резултујућа хомотетија има коефицијент \( -2 \).
\( k = k_1 \cdot k_2 = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2 \).
Резултујућа хомотетија има коефицијент \( -2 \).
Тежак: У неком троуглу дата је Ојлерова права која садржи ортоцентар \( H \), тежиште \( T \) и центар описаног круга \( O \). Ако је растојање између тежишта и центра описаног круга \( TO = 4 \text{ cm} \), израчунај растојање између ортоцентра и центра описаног круга (\( HO \)).
Из особина које произилазе из хомотетије троугла знамо да је распоред тачака на Ојлеровој правој \( H - T - O \) и да важи однос \( HT = 2TO \).
Прво рачунамо дужину \( HT \):
\( HT = 2 \cdot 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \).
Пошто је \( T \) између \( H \) и \( O \), укупно растојање \( HO \) је збир дужи \( HT \) и \( TO \):
\( HO = HT + TO = 8 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm} \).
Прво рачунамо дужину \( HT \):
\( HT = 2 \cdot 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm} \).
Пошто је \( T \) између \( H \) и \( O \), укупно растојање \( HO \) је збир дужи \( HT \) и \( TO \):
\( HO = HT + TO = 8 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm} \).
