Најважније из лекције
- Уређени пар: \( (a, b) = (c, d) \) само ако је \( a = c \) и \( b = d \). Редослед елемената је строго одређен.
- Декартов производ (\( A \times B \)): Скуп свих уређених парова где је први члан из \( A \), а други из \( B \).
- Важна својства: \( A \times B \neq B \times A \) (комутативност не важи), и \( A \times \emptyset = \emptyset \).
- Вишедимензионални производи: Проширивање концепта на уређене тројке (\( A \times B \times C \)) и Декартове степене (\( A^2, A^3 \)).
- Геометријска примена: Правоугли координатни систем је Декартов производ \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \).
Уређени пар \( (a, b) \) је двочлани низ чији је први члан (прва координата) \( a \), а други члан (друга координата) \( b \).
Два уређена пара су једнака ако и само ако су им једнаке одговарајуће координате:
\[ (a, b) = (c, d) \Leftrightarrow a = c \land b = d \]
Важно је разликовати двочлани скуп од уређеног пара. Код скупа редослед елемената није битан (\( \{1, 2\} = \{2, 1\} \)), док код уређеног пара јесте (\( (1, 2) \neq (2, 1) \)).
Одредите вредности \( x \) и \( y \) тако да важи једнакост уређених парова: \( (x - 2, 5) = (3, y + 1) \).
На основу дефиниције једнакости уређених парова, изједначавамо прве и друге координате:
\( x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5 \)
\( 5 = y + 1 \Rightarrow y = 4 \)
Одговор: \( x = 5 \), \( y = 4 \).
\( x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5 \)
\( 5 = y + 1 \Rightarrow y = 4 \)
Одговор: \( x = 5 \), \( y = 4 \).
Декартов производ скупова \( A \) и \( B \), у ознаци \( A \times B \), јесте скуп чији су елементи сви уређени парови чија прва координата припада скупу \( A \), а друга координата скупу \( B \).
\[ A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A \land b \in B \} \]
Ако је \( A = \{1, 2\} \) и \( B = \{x, y\} \), онда је:
\[ A \times B = \{(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)\} \]
За Декартов производ важе следећа правила:
- \( A \times B \neq B \times A \) (осим ако је \( A = B \) или је један од скупова празан). Скупови су најчешће различити и инклузијски неупоредиви.
- Производ са празним скупом даје празан скуп: \( \emptyset \times A = A \times \emptyset = \emptyset \).
- Важи дистрибутивност у односу на унију: \( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \).
Дат је скуп \( A = \{0, 1\} \) и \( B = \{5\} \). Одредите \( A \times B \) и \( B \times A \).
\( A \times B = \{(0, 5), (1, 5)\} \)
\( B \times A = \{(5, 0), (5, 1)\} \)
\( B \times A = \{(5, 0), (5, 1)\} \)
Декартов производ скупова се уводи по узору на правоугли (Декартов) координатни систем.
Ако координатне осе схватимо као скупове реалних бројева \( \mathbb{R} \), раван представља Декартов производ \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \).
Свака тачка у тој равни се јединствено идентификује једним уређеним паром реалних бројева \( (x, y) \).
Уређена тројка \( (a, b, c) \) је трочлани низ. Два оваква низа су једнака ако су им једнаке све три одговарајуће координате:
\[ (a_1, a_2, a_3) = (b_1, b_2, b_3) \Leftrightarrow a_1 = b_1 \land a_2 = b_2 \land a_3 = b_3 \]
Декартов производ три скупа \( A \times B \times C \) је скуп свих уређених тројки чија прва координата припада \( A \), друга \( B \), а трећа \( C \).
Скупови \( A \times A \), \( A \times A \times A \), итд. називају се Декартови степени скупа \( A \) и обележавају се са \( A^2 \), \( A^3 \), итд.
Ако је \( A = \{1, 2\} \), Декартов квадрат скупа \( A \) је:
\[ A^2 = A \times A = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\} \]
Задаци за вежбање
Лак: Дати су скупови \( P = \{a\} \) и \( Q = \{1, 2, 3\} \). Одредите Декартов производ \( P \times Q \).
Уређени парови морају имати прву координату из \( P \), а другу из \( Q \).
Одговор: \( P \times Q = \{(a, 1), (a, 2), (a, 3)\} \).
Одговор: \( P \times Q = \{(a, 1), (a, 2), (a, 3)\} \).
Средњи: Ако је \( A \times B = \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)\} \), одредите елементе скупова \( A \) и \( B \).
Скуп \( A \) чине све прве координате уређених парова, а скуп \( B \) чине све друге координате.
Прве координате су 1 и 2. Друге координате су 3 и 4.
Одговор: \( A = \{1, 2\} \), \( B = \{3, 4\} \).
Прве координате су 1 и 2. Друге координате су 3 и 4.
Одговор: \( A = \{1, 2\} \), \( B = \{3, 4\} \).
Тежак: Нека је \( S = \{0, 1\} \). Одредите Декартов степен \( S^3 \) (односно \( S \times S \times S \)). Колико елемената има овај скуп?
Скуп \( S^3 \) садржи све уређене тројке састављене од елемената 0 и 1.
\( S^3 = \{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)\} \)
Одговор: Скуп има тачно 8 елемената.
\( S^3 = \{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)\} \)
Одговор: Скуп има тачно 8 елемената.
