Најважније из лекције
Сличност: Трансформација која мења величину, али чува облик фигуре. Коефицијент сличности \( k \) представља однос дужина пресликане и оригиналне дужи (\( A'B' = k \cdot AB \)).
Ставови сличности троуглова: Да би два троугла била слична, довољно је да испуњавају један од услова: СУС (две странице пропорционалне и захваћен угао једнак), УУ (два угла једнака), ССС (све три странице пропорционалне) или ССУ.
Примена:
Ставови сличности троуглова: Да би два троугла била слична, довољно је да испуњавају један од услова: СУС (две странице пропорционалне и захваћен угао једнак), УУ (два угла једнака), ССС (све три странице пропорционалне) или ССУ.
Примена:
- Симетрала угла: Дели наспрамну страницу у размери друге две странице (\( AD:DB = AC:CB \)).
- Висине троугла: Производ странице и њене висине је константан (\( a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c \)).
Нека је \( k \) позитиван реалан број. Сличност равни са коефицијентом \( k \) је пресликавање такво да за сваке две тачке \( A \) и \( B \) и њихове слике \( A' \) и \( B' \) важи:
\[ A'B' = k \cdot AB \]
- Свака изометрија је сличност са коефицијентом 1.
- Свака хомотетија је сличност са коефицијентом \( |k| \).
- Теорема о разлагању: Свака сличност се може представити као композиција неке изометрије и неке хомотетије.
Све што „чувају” изометрије и хомотетије, „чувају” и сличности. Сличност чува распоред тачака на правој, паралелност правих и размеру (однос) дужи.
Две фигуре \( \Phi \) и \( \Psi \) су сличне (\( \Phi \sim \Psi \)) ако постоји сличност која пресликава једну на другу. Сличне фигуре имају исти облик, али не нужно и исту величину.
Ако је дужина дужи \( AB = 4 \text{ cm} \), а трансформација сличности има коефицијент \( k = 2.5 \), колика је дужина пресликане дужи \( A'B' \)?
На основу дефиниције сличности, важи \( A'B' = k \cdot AB \).
\( A'B' = 2.5 \cdot 4 = 10 \text{ cm} \).
\( A'B' = 2.5 \cdot 4 = 10 \text{ cm} \).
Два троугла су слична ако су им одговарајући углови једнаки, а парови одговарајућих страница пропорционални. Странице су одговарајуће ако се налазе наспрам истих углова.
Први став (СУС): Два троугла су слична ако су две странице једног троугла пропорционалне двема страницама другог троугла и углови захваћени тим страницама су подударни.
\[ AB : AC = A'B' : A'C' \quad \text{и} \quad \angle CAB \cong \angle C'A'B' \]
Други став (УУ): Два троугла су слична ако су два угла једног троугла подударна одговарајућим угловима другог троугла.
\[ \angle CAB \cong \angle C'A'B' \quad \text{и} \quad \angle ABC \cong \angle A'B'C' \]
Трећи став (ССС): Два троугла су слична ако су сваке две странице једног троугла пропорционалне одговарајућем пару страница другог троугла.
\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} \]
Четврти став (ССУ): Два троугла су слична ако су две странице једног троугла пропорционалне двема страницама другог и ако су углови наспрам две од ових одговарајућих страница подударни, а углови наспрам друге две одговарајуће странице су исте врсте (оба оштра, оба права или оба тупа).
Да ли су слични троуглови чије су дужине страница \( 3 \text{ cm}, 4 \text{ cm}, 5 \text{ cm} \) и \( 6 \text{ cm}, 8 \text{ cm}, 10 \text{ cm} \)?
Проверавамо размеру одговарајућих страница (Трећи став - ССС):
\[ \frac{6}{3} = 2, \quad \frac{8}{4} = 2, \quad \frac{10}{5} = 2 \]
Пошто су све три странице пропорционалне са истим коефицијентом \( k=2 \), троуглови јесу слични.
Мерење висине помоћу сенке: Ако штап висине \( 1.5 \text{ m} \) баца сенку од \( 0.8 \text{ m} \), а дрво баца сенку од \( 2.4 \text{ m} \), применом другог става сличности (УУ) постављамо пропорцију:
\[ \frac{1.5}{0.8} = \frac{x}{2.4} \Rightarrow x = 4.5 \text{ m} \]
Теорема о симетрали угла: Симетрала унутрашњег угла троугла дели наспрамну страницу на дужи које су пропорционалне другим двема страницама.
Ако је \( D \) пресек странице \( AB \) и симетрале угла код темена \( C \), важи: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB} \]
Ако је \( D \) пресек странице \( AB \) и симетрале угла код темена \( C \), важи: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB} \]
Теорема о висинама троугла: Производи дужина страница и њима одговарајућих висина неког троугла су међусобно једнаки.
\[ a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c \]
Задаци за вежбање
Лак: Угао код темена \( A \) у троуглу \( ABC \) износи \( 50^\circ \), а угао код темена \( B \) износи \( 60^\circ \). У троуглу \( A'B'C' \), угао код \( A' \) је \( 50^\circ \), а угао код \( C' \) је \( 70^\circ \). Да ли су ова два троугла слична?
У троуглу \( ABC \), трећи угао \( \angle C = 180^\circ - (50^\circ + 60^\circ) = 70^\circ \).
Троугао \( A'B'C' \) има углове \( 50^\circ \) и \( 70^\circ \), па је његов трећи угао \( \angle B' = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ \).
Оба троугла имају исте унутрашње углове (\( 50^\circ, 60^\circ, 70^\circ \)), па су слична на основу другог става сличности (УУ).
Троугао \( A'B'C' \) има углове \( 50^\circ \) и \( 70^\circ \), па је његов трећи угао \( \angle B' = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 60^\circ \).
Оба троугла имају исте унутрашње углове (\( 50^\circ, 60^\circ, 70^\circ \)), па су слична на основу другог става сличности (УУ).
Средњи: Познате су странице троугла \( a = 8 \text{ cm} \), \( b = 6 \text{ cm} \) и висина \( h_a = 3 \text{ cm} \). Израчунај висину \( h_b \).
Примењујемо теорему о висинама троугла: \( a \cdot h_a = b \cdot h_b \).
\[ 8 \cdot 3 = 6 \cdot h_b \]
\[ 24 = 6 \cdot h_b \]
\[ h_b = \frac{24}{6} = 4 \text{ cm} \]
Тежак: У троуглу \( ABC \), странице су \( AC = 10 \text{ cm} \) и \( BC = 5 \text{ cm} \). Симетрала угла код темена \( C \) сече страницу \( AB \) у тачки \( D \). Ако је дужина одсечка \( BD = 3 \text{ cm} \), израчунај дужину целе странице \( AB \).
Користимо теорему о симетрали угла: \( \frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC} \).
Замењујемо познате вредности: \[ \frac{AD}{3} = \frac{10}{5} \] \[ \frac{AD}{3} = 2 \Rightarrow AD = 3 \cdot 2 = 6 \text{ cm} \] Страница \( AB \) једнака је збиру делова \( AD \) и \( BD \): \[ AB = AD + BD = 6 + 3 = 9 \text{ cm} \]
Замењујемо познате вредности: \[ \frac{AD}{3} = \frac{10}{5} \] \[ \frac{AD}{3} = 2 \Rightarrow AD = 3 \cdot 2 = 6 \text{ cm} \] Страница \( AB \) једнака је збиру делова \( AD \) и \( BD \): \[ AB = AD + BD = 6 + 3 = 9 \text{ cm} \]
