Најважније из лекције
- Талесова теорема: Паралелне праве које секу краке угла граде на њима пропорционалне одсечке. Користи се за поделу и размеру дужи.
- Хомотетија: Пресликавање \( \vec{OX'} = k\vec{OX} \). Чува паралелност и углове, мења дужине пропорционално фактору \( |k| \).
- Сличност (\( \sim \)): Два троугла су слична ако имају једнаке углове и пропорционалне странице (Ставови: УУ, СУС, ССС, ССУ).
- Правоугли троугао: Висина из правог угла је геометријска средина пројекција катета (\( h_c^2 = pq \)), а катета је геометријска средина целе хипотенузе и своје пројекције (\( a^2 = cq \)). Ово доказује Питагорину теорему.
- Потенција тачке: Производ одсечака сваке сечице кроз исту тачку у односу на кружницу је константан (\( PA_1 \cdot PA_2 = PT^2 \)).
Јединица мере је унапред изабрана и фиксирана дуж са којом упоређујемо друге дужи. Поступак мерења заснива се на надовезивању подударних дужи.
Архимедова аксиома: За сваку дуж \( AB \) постоји коначно много надовезаних јединичних дужи чија укупна дужина премашује дужину \( AB \).
Ако се јединица мере стално дели (нпр. у декадном систему), поступак мерења се или завршава (коначан децималан број) или се не завршава (бесконачан низ који тежи јединственом реалном броју).
Основне особине функције дужине:
- \( |II| = 1 \) (дужина јединичне дужи).
- \( AB \cong CD \iff |AB| = |CD| \)
- \( A - B - C \iff |AB| + |BC| = |AC| \)
- За неколинеарне тачке: \( |AC| < |AB| + |BC| \)
Положај средишта: Ако је \( S \) средиште дужи \( AB \), а \( C \) тачка на правој, важи:
\( SC = \frac{AC + BC}{2} \) (ако је поредак \( A-B-C \))
\( SC = \frac{|AC - BC|}{2} \) (ако је поредак \( A-C-B \))
\( SC = \frac{AC + BC}{2} \) (ако је поредак \( A-B-C \))
\( SC = \frac{|AC - BC|}{2} \) (ако је поредак \( A-C-B \))
За мерење углова користи се степен (\( ^\circ \)). Мера угла се рачуна као разлика вредности придружених крацима на угломеру.
Размера дужи: Број \( r \) такав да је \( AB = r \cdot CD \), односно \( AB : CD = r \).
Ако је \( r \) рационалан број, дужи су самерљиве, а ако је ирационалан, несамерљиве.
Ако је \( r \) рационалан број, дужи су самерљиве, а ако је ирационалан, несамерљиве.
Талесова теорема: Међусобно паралелне праве \( a, b, c \) секу праве \( p \) и \( p_1 \) редом у тачкама \( A, B, C \), односно \( A_1, B_1, C_1 \). Тада су одсечци пропорционални:
\[ AB : BC = A_1B_1 : B_1C_1 \]
Такође, ако се праве секу у тачки \( O \):
\[ \frac{OA}{OB} = \frac{OA_1}{OB_1} = \frac{AA_1}{BB_1} \]
Хармонијска спрегнутост: Пар тачака \( A, B \) је хармонијски спрегнут са паром \( C, D \) (\( H(A, B; C, D) \)) ако тачке \( C \) и \( D \) деле дуж \( AB \) (унутрашње и спољашње) у истој размери: \( AC:BC = AD:BD \).
Аполонијева кружница: Скуп тачака \( P \) за које важи \( PA:PB = m:n \) (константа) је кружница са пречником \( CD \).
Хомотетија \( \mathcal{H}_{O,k} \) равни са центром \( O \) и коефицијентом \( k \neq 0 \) је пресликавање где је за сваку тачку \( X \), њена слика \( X' \) одређена са:
\[ \vec{OX'} = k\vec{OX} \]
Особине хомотетије:
- Вектори слика: \( \vec{X'Y'} = k\vec{XY} \) и растојање: \( X'Y' = |k|XY \).
- Дуж се пресликава у дуж, а права у паралелну праву.
- Угао се пресликава у себи подударан угао.
Хомотетијом из тежишта \( T \) са коефицијентом \( k = -1/2 \), ортоцентар \( H \) се пресликава у центар описане кружнице \( O \). Права кроз \( H, T \) и \( O \) је Ојлерова права.
Сличност \( \mathcal{P}_k \) са коефицијентом \( k > 0 \) је функција која мења сва растојања пропорционално: \( A'B' = k \cdot AB \). Свака сличност је композиција изометрије и хомотетије.
Ставови сличности троуглова (\( \triangle ABC \sim \triangle A'B'C' \)):
- УУ (Први став): Два угла једног троугла подударна су са два угла другог.
- СУС (Други став): Две странице су пропорционалне, а захваћени углови подударни.
- ССС (Трећи став): Све три странице су међусобно пропорционалне.
- ССУ (Четврти став): Две странице су пропорционалне, угао наспрам једне је подударан, а угао наспрам друге је исте врсте (оштар/туп/прав).
Симетрала угла: Симетрала унутрашњег угла дели наспрамну страницу на одсечке пропорционалне другим двема страницама: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB} \).
Односи у правоуглом троуглу: Ако висина \( h_c \) дели хипотенузу \( c \) на одсечке \( p \) (суседан катети \( b \)) и \( q \) (суседан катети \( a \)), важи:
- \( h_c^2 = p \cdot q \) (Висина је геометријска средина одсечака)
- \( a^2 = c \cdot q \) и \( b^2 = c \cdot p \) (Катета је геометријска средина хипотенузе и суседног одсечка)
- Питагорина теорема: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
Потенција тачке у односу на кружницу:
Ако права кроз тачку \( P \) сече кружницу у \( A_1 \) и \( A_2 \), производ \( PA_1 \cdot PA_2 \) је константан.
Ако је \( t \) тангента са додирном тачком \( T \), важи: \( PA_1 \cdot PA_2 = PT^2 \).
Вредност потенције је \( PO^2 - r^2 \).
Ако права кроз тачку \( P \) сече кружницу у \( A_1 \) и \( A_2 \), производ \( PA_1 \cdot PA_2 \) је константан.
Ако је \( t \) тангента са додирном тачком \( T \), важи: \( PA_1 \cdot PA_2 = PT^2 \).
Вредност потенције је \( PO^2 - r^2 \).
Златни пресек: Тачка \( Z \) дели дуж \( AB \) тако да важи \( AZ : ZB = AB : AZ \) (где је \( AZ > ZB \)).
Птоломејева теорема: У тетивном четвороуглу производ дијагонала једнак је збиру производа наспрамних страница: \( AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA \).
Задаци за вежбање
Лак: У троуглу \( ABC \) конструисана је права паралелна страници \( AB \), која сече странице \( AC \) и \( BC \) у тачкама \( M \) и \( N \). Ако је \( CM = 4 \), \( MA = 2 \) и \( CN = 6 \), колика је дужина дужи \( NB \)?
На основу Талесове теореме важи пропорција:
\[ \frac{CM}{MA} = \frac{CN}{NB} \]
Заменом датих вредности добијамо:
\[ \frac{4}{2} = \frac{6}{NB} \]
\[ 2 = \frac{6}{NB} \implies NB = 3 \]
Средњи: У правоуглом троуглу, висина која одговара хипотенузи дели је на одсечке дужина \( p = 4 \) и \( q = 9 \). Израчунајте дужину те висине (\( h_c \)) и дужине катета (\( a \) и \( b \)).
Према теореми о висини правоуглог троугла:
\[ h_c^2 = p \cdot q = 4 \cdot 9 = 36 \implies h_c = 6 \]
Хипотенуза је \( c = p + q = 4 + 9 = 13 \).
Катете рачунамо по формулама \( a^2 = c \cdot q \) и \( b^2 = c \cdot p \):
\[ a^2 = 13 \cdot 9 = 117 \implies a = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \]
\[ b^2 = 13 \cdot 4 = 52 \implies b = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]
Тежак: Из тачке \( P \) ван кружнице повучене су тангента и сечица. Тангента додирује кружницу у тачки \( T \), а сечица је сече у тачкама \( A \) и \( B \) (тако да је \( P-A-B \)). Ако је дужина тангенте \( PT = 6 \), а спољашњи део сечице \( PA = 4 \), израчунајте дужину тетиве \( AB \).
Према теореми о потенцији тачке важи:
\[ PA \cdot PB = PT^2 \]
Нека је дужина тетиве \( AB = x \). Тада је цела сечица \( PB = PA + AB = 4 + x \). Заменом у формулу добијамо:
\[ 4 \cdot (4 + x) = 6^2 \]
\[ 16 + 4x = 36 \]
\[ 4x = 20 \implies x = 5 \]
Дужина тетиве \( AB \) износи 5.
