Најважније из лекције
- Једначина праве: Експлицитни облик је \( y = kx + n \), где \( k \) одређује нагиб (коефицијент правца), а \( n \) пресек са \( y \)-осом.
- Паралелност: Праве су паралелне ако имају исти коефицијент правца \( k \).
- Општи облик: Једначина облика \( ax + by + c = 0 \) представља било коју праву у равни (укључујући и праве паралелне \( y \)-оси).
- Полуравни: Неједначине облика \( ax + by + c \ge 0 \) или \( \le 0 \) графички представљају полуравни. Решење се одређује цртањем граничне праве и провером тест-тачке.
Целе алгебарске изразе са једном променљивом чији је сређени облик првог степена називамо линеарним изразима.
\[ y = kx + n \]
где су \( k \) и \( n \) константе, а величина \( y \) линеарно зависи од \( x \).
Ако у посуди имамо \( 2 \text{ l} \) воде и из ње истиче \( 0{,}25 \text{ l} \) у минуту, преостала запремина \( V \) након \( t \) минута је дата линеарном зависношћу:
\[ V(t) = 2 - 0{,}25 \cdot t \]
Скуп свих тачака чије координате \( (x, y) \) задовољавају једнакост \( y = kx + n \) јесте права. Ова једнакост се назива једначином одговарајуће праве.
Да бисмо нацртали график линеарне зависности, довољно је наћи две тачке које му припадају (јер је права потпуно одређена са две тачке).
Број \( k \) у једначини \( y = kx + n \) називамо коефицијентом правца праве.
Права сече \( y \)-осу у тачки са координатама \( (0, n) \).
| Вредност \( k \) | Особина праве у координатном систему |
|---|---|
| \( k > 0 \) | Права захвата оштар угао са позитивним смером \( x \)-осе (растућа). |
| \( k < 0 \) | Права захвата туп угао са позитивним смером \( x \)-осе (опадајућа). |
| \( k = 0 \) | Права је паралелна \( x \)-оси. Једначина је \( y = n \). (Једначина саме \( x \)-осе је \( y = 0 \)). |
| Исто \( k \) | Праве које имају исти коефицијент правца су паралелне. |
Праве које су паралелне \( y \)-оси имају једначину облика \( x = m \) (где је \( m \) константа) и не могу се записати у облику \( y = kx + n \).
\[ ax + by + c = 0 \]
где су \( a, b \) и \( c \) константе, при чему \( a \) и \( b \) нису истовремено једнаки нули (\( a^2 + b^2 \neq 0 \)).
Ова једначина се може трансформисати у експлицитни облик:
• \( y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \), ако је \( b \neq 0 \)
• \( x = -\frac{c}{a} \), ако је \( b = 0 \) (тада је права паралелна \( y \)-оси).
• \( y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \), ако је \( b \neq 0 \)
• \( x = -\frac{c}{a} \), ако је \( b = 0 \) (тада је права паралелна \( y \)-оси).
Свака права дели раван на две полуравни. Тачке једне полуравни задовољавају неједнакост са знаком \( \ge \) (или \( > \)), док тачке друге задовољавају \( \le \) (или \( < \)).
Нацртамо праву \( ax + by + c = 0 \). (Ако је неједнакост строга \( < \) или \( > \), праву цртамо испрекиданом линијом).
Изаберемо произвољну тест-тачку \( P(x_0, y_0) \) која не припада правој (најчешће координатни почетак \( (0,0) \) ако права не пролази кроз њега).
Проверимо знак израза. Ако координате тачке чине неједнакост тачном, шрафирамо полураван у којој се тачка налази. У супротном, шрафирамо другу полураван.
Задаци за вежбање
Лак: Да ли тачка \( A(2, 5) \) припада правој чија је једначина \( y = 3x - 1 \)?
Замењујемо координате тачке \( A \) (\( x=2, y=5 \)) у једначину праве:
\[ 5 = 3 \cdot 2 - 1 \]
\[ 5 = 6 - 1 \]
\[ 5 = 5 \]
Одговор: Да, једнакост је тачна, што значи да тачка припада правој.
Средњи: Преведи једначину праве из општег облика \( 2x - 4y + 8 = 0 \) у облик \( y = kx + n \). Одреди њен коефицијент правца и тачку у којој сече \( y \)-осу.
Изражавамо \( y \) преко \( x \):
\[ -4y = -2x - 8 \]
Делимо целу једначину са \( -4 \):
\[ y = \frac{-2}{-4}x + \frac{-8}{-4} \]
\[ y = \frac{1}{2}x + 2 \]
Одговор: Коефицијент правца је \( k = \frac{1}{2} \). Права сече \( y \)-осу у тачки \( (0, 2) \).
Тежак: Одреди једначину праве која је паралелна са правој \( y = -3x + 4 \) и која пролази кроз координатни почетак \( (0, 0) \).
Пошто су праве паралелне, имају исти коефицијент правца. Дакле, за тражену праву важи \( k = -3 \).
Општи облик је \( y = -3x + n \).
Права пролази кроз тачку \( (0, 0) \), па мењамо \( x=0 \) и \( y=0 \): \[ 0 = -3 \cdot 0 + n \implies n = 0 \] Одговор: Једначина тражене праве је \( y = -3x \).
Општи облик је \( y = -3x + n \).
Права пролази кроз тачку \( (0, 0) \), па мењамо \( x=0 \) и \( y=0 \): \[ 0 = -3 \cdot 0 + n \implies n = 0 \] Одговор: Једначина тражене праве је \( y = -3x \).
