Најважније из лекције
- Линеарне једначине решавамо применом еквивалентних трансформација све док их не сведемо на основни облик \( ax = b \).
- Број решења зависи од \( a \) и \( b \): једно (\( a \neq 0 \)), ниједно (\( a=0, b \neq 0 \)) или бесконачно много (\( a=0, b=0 \)).
- Ако имамо производ који је једнак нули (\( A \cdot B = 0 \)), решавамо га тако што сваки чинилац изједначимо са нулом.
- Код једначина са параметрима, обавезно вршимо дискусију у зависности од тога да ли израз уз непознату \( x \) има вредност нула.
Линеарна једначина је једначина облика \( L(x) = D(x) \), где су \( L \) и \( D \) изрази у којима се појављује највише једна променљива (непозната).
Решити једначину значи пронаћи све реалне бројеве тако да су вредности леве и десне стране једнаке када се променљивој додели тај број. Сваки такав број назива се решење једначине.
Једначине могу имати различит број решења:
- Једно решење: \( 3x = 6 \Rightarrow x = 2 \)
- Бесконачно много решења: \( 0 \cdot x = 0 \) (сваки реалан број је решење, јер шта год помножимо са нулом даје нулу)
- Без решења: \( 0 \cdot x = 2 \) (не постоји број који помножен са нулом даје 2)
Две једначине су еквивалентне ако имају потпуно исти скуп решења. Решавање једначина се своди на примену трансформација које једначину преводе у њој еквивалентну, али једноставнију једначину.
Основна правила трансформације:
- Стране једначине могу заменити места: \( L(x) = D(x) \Leftrightarrow D(x) = L(x) \).
- Обema странама једначине се може додати или одузети исти израз: \( L(x) + A(x) = D(x) + A(x) \). Из овога следи правило пребацивања чланова са једне на другу страну уз промену знака.
- Обе стране једначине се могу помножити или поделити истим бројем који је различит од нуле (\( c \neq 0 \)): \( c \cdot L(x) = c \cdot D(x) \).
\( 3x + 2 = 2x + 4 \)
\( 3x - 2x = 4 - 2 \) (пребацивање чланова уз промену знака)
\( x = 2 \)
\( 3x - 2x = 4 - 2 \) (пребацивање чланова уз промену знака)
\( x = 2 \)
\[ ax = b \]
где су \( a \) и \( b \) реални бројеви (константе), а \( x \) непозната.
У зависности од вредности бројева \( a \) и \( b \), разликујемо три случаја:
- Ако је \( a \neq 0 \), једначина има јединствено решење: \( x = \frac{b}{a} \).
- Ако је \( a = 0 \) и \( b \neq 0 \), једначина нема решења (своди се на \( 0 \cdot x = b \)).
- Ако је \( a = 0 \) и \( b = 0 \), једначина има бесконачно много решења (своди се на \( 0 \cdot x = 0 \)).
Неке сложеније једначине се могу раставити на више једноставних линеарних једначина коришћењем логичких еквиваленција.
1. Производ израза једнак нули:
\[ A(x) \cdot B(x) = 0 \Leftrightarrow A(x) = 0 \lor B(x) = 0 \]
(Производ је нула ако и само ако је бар један од чинилаца једнак нули.)
2. Рационални израз једнак нули:
\[ \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \Leftrightarrow A(x) = 0 \land B(x) \neq 0 \]
(Разломак је нула када је бројилац нула, али именилац строго мора бити различит од нуле због дељења.)
Код рационалних једначина, увек се мора проверити да добијено решење не претвара именилац у нулу!
Параметарске једначине поред непознате садрже и друга слова (параметре) која представљају произвољне реалне вредности. Решавање подразумева дискусију решења у зависности од вредности тог параметра.
Решавање једначине: \( \lambda x = x + 2 \) (где је \( \lambda \) параметар)
1. Груписање непознате \( x \): \( \lambda x - x = 2 \Rightarrow (\lambda - 1)x = 2 \)
2. Дискусија (анализа):
1. Груписање непознате \( x \): \( \lambda x - x = 2 \Rightarrow (\lambda - 1)x = 2 \)
2. Дискусија (анализа):
- Ако је \( \lambda - 1 \neq 0 \), односно \( \lambda \neq 1 \), решење је \( x = \frac{2}{\lambda - 1} \).
- Ако је \( \lambda - 1 = 0 \), односно \( \lambda = 1 \), једначина гласи \( 0 \cdot x = 2 \), што значи да нема решења.
Задаци за вежбање
Лак: Решити једначину \( 5x - 7 = 2x + 8 \).
Пребацујемо непознате на леву, а познате на десну страну уз промену знака:
\( 5x - 2x = 8 + 7 \)
\( 3x = 15 \quad / :3 \)
\( x = 5 \)
\( 5x - 2x = 8 + 7 \)
\( 3x = 15 \quad / :3 \)
\( x = 5 \)
Средњи: Решити једначину \( (2x - 6)(x + 4) = 0 \).
Користимо правило \( A(x) \cdot B(x) = 0 \Leftrightarrow A(x) = 0 \lor B(x) = 0 \).
\( 2x - 6 = 0 \quad \lor \quad x + 4 = 0 \)
\( 2x = 6 \quad \lor \quad x = -4 \)
\( x = 3 \quad \lor \quad x = -4 \)
Једначина има два решења: \( x \in \{-4, 3\} \).
\( 2x - 6 = 0 \quad \lor \quad x + 4 = 0 \)
\( 2x = 6 \quad \lor \quad x = -4 \)
\( x = 3 \quad \lor \quad x = -4 \)
Једначина има два решења: \( x \in \{-4, 3\} \).
Тежак: Решити једначину са параметром \( m \): \( mx - 5 = 3x + m \).
Групишемо чланове са \( x \) на једну страну:
\( mx - 3x = m + 5 \)
\( x(m - 3) = m + 5 \)
Дискусија:
1) Ако је \( m - 3 \neq 0 \), тј. \( m \neq 3 \), једначина има јединствено решење: \( x = \frac{m + 5}{m - 3} \).
2) Ако је \( m - 3 = 0 \), тј. \( m = 3 \), једначина постаје \( x \cdot 0 = 3 + 5 \Rightarrow 0 = 8 \). У овом случају једначина нема решења.
\( mx - 3x = m + 5 \)
\( x(m - 3) = m + 5 \)
Дискусија:
1) Ако је \( m - 3 \neq 0 \), тј. \( m \neq 3 \), једначина има јединствено решење: \( x = \frac{m + 5}{m - 3} \).
2) Ако је \( m - 3 = 0 \), тј. \( m = 3 \), једначина постаје \( x \cdot 0 = 3 + 5 \Rightarrow 0 = 8 \). У овом случају једначина нема решења.
