Најважније из лекције
Кључни закључци:
- Права: Једначина облика \( y = kx + n \), где \( k \) диктира нагиб, а \( n \) пресек са \( y \)-осом.
- Линеарне једначине (\( ax = b \)): Решење зависи од коефицијената (једно решење \( x = \frac{b}{a} \), нема решења или бесконачно много).
- Неједначине: Решавају се слично као једначине, али се знак неједнакости окреће при множењу/дељењу негативним бројем! (Нпр. \( -2x < 4 \Rightarrow x > -2 \)).
- Системи једначина: Решавају се методом замене или методом супротних коефицијената. Могу имати једно, ниједно или бесконачно много решења.
- Линеарне функције (\( f(x) = ax + b \)): Ако је \( a > 0 \) функција расте, ако је \( a < 0 \) опада. Нула функције је тачка где график сече \( x \)-осу (\( f(x) = 0 \)).
Када величина \( y \) линеарно зависи од величине \( x \), та зависност се описује једначином \( y = kx + n \). График ове зависности у координатном систему је права линија.
Број \( k \) се назива коефицијент правца праве, док \( n \) представља пресек праве са \( y \)-осом (у тачки \( (0, n) \)).
Особине коефицијента правца \( k \):
- Ако је \( k > 0 \), права захвата оштар угао са позитивним смером \( x \)-осе (растућа је).
- Ако је \( k < 0 \), права захвата туп угао (опадајућа је).
- Ако је \( k = 0 \), права је паралелна \( x \)-оси (једначина \( y = n \)).
- Праве које имају исти коефицијент правца су паралелне.
Општи облик једначине праве:
\[ ax + by + c = 0 \]
Ако је \( b \neq 0 \), овај облик се може превести у експлицитни облик: \( y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \).
Дата је права у општем облику: \( 2x - 3y + 6 = 0 \). Преведите је у експлицитни облик и одредите коефицијент правца.
Изражавамо \( y \):
\( -3y = -2x - 6 \)
\( y = \frac{-2}{-3}x - \frac{6}{-3} \)
\( y = \frac{2}{3}x + 2 \)
Одговор: Експлицитни облик је \( y = \frac{2}{3}x + 2 \), а коефицијент правца је \( k = \frac{2}{3} \).
\( -3y = -2x - 6 \)
\( y = \frac{-2}{-3}x - \frac{6}{-3} \)
\( y = \frac{2}{3}x + 2 \)
Одговор: Експлицитни облик је \( y = \frac{2}{3}x + 2 \), а коефицијент правца је \( k = \frac{2}{3} \).
Свака једначина која се еквивалентним трансформацијама (додавање, одузимање, множење или дељење истим бројем различитим од нуле) може свести на облик \( ax = b \) сматра се линеарном једначином.
Дискусија решења једначине \( ax = b \):
- Ако је \( a \neq 0 \): једначина има јединствено решење \( x = \frac{b}{a} \).
- Ако је \( a = 0 \) и \( b \neq 0 \): једначина нема решења (нпр. \( 0 \cdot x = 5 \)).
- Ако је \( a = 0 \) и \( b = 0 \): сваки реалан број је решење (бесконачно много решења).
Ако једначина садржи параметар (непознату вредност изражену словом, нпр. \( \lambda \)), потребно је анализирати решење за различите вредности тог параметра.
Решите једначину: \( 3(x - 2) = 3x - 6 \).
Ослобађамо се заграда:
\( 3x - 6 = 3x - 6 \)
Пребацујемо непознате на леву, а познате на десну страну:
\( 3x - 3x = -6 + 6 \)
\( 0 \cdot x = 0 \)
Одговор: Пошто је једнакост тачна за сваки број, решење је сваки реалан број (\( x \in \mathbb{R} \)).
\( 3x - 6 = 3x - 6 \)
Пребацујемо непознате на леву, а познате на десну страну:
\( 3x - 3x = -6 + 6 \)
\( 0 \cdot x = 0 \)
Одговор: Пошто је једнакост тачна за сваки број, решење је сваки реалан број (\( x \in \mathbb{R} \)).
Линеарна неједначина се своди на један од облика: \( ax \le b \), \( ax \ge b \), \( ax < b \) или \( ax > b \). Решења се најчешће записују у облику интервала (нпр. \( x \in [a, +\infty) \)).
Када се обе стране неједначине множе или деле негативним бројем, знак неједнакости се окреће (нпр. из \( < \) у \( > \)).
За решавање сложенијих неједначина које садрже множење или дељење израза (нпр. \( A(x) \cdot B(x) < 0 \)), користи се логика знакова: производ/количник је негативан ако су чиниоци различитог знака, а позитиван ако су истог знака. Ово се најлакше представља таблицом знакова.
Решите неједначину: \( -2x + 8 > 0 \).
Пребацујемо познате на десну страну:
\( -2x > -8 \)
Делимо обе стране са \( -2 \). Пажња: знак се окреће!
\( x < \frac{-8}{-2} \)
\( x < 4 \)
Одговор: Решење је интервал \( x \in (-\infty, 4) \).
\( -2x > -8 \)
Делимо обе стране са \( -2 \). Пажња: знак се окреће!
\( x < \frac{-8}{-2} \)
\( x < 4 \)
Одговор: Решење је интервал \( x \in (-\infty, 4) \).
Систем две линеарне једначине са две непознате решава се свођењем система на једну једначину са једном непознатом.
- Метода замене: Из једне једначине се изрази једна променљива (нпр. \( y \)) и тај израз се замени у другу једначину.
- Метода супротних коефицијената: Једначине се множе одговарајућим бројевима тако да коефицијенти уз једну непознату постану супротни бројеви. Затим се једначине саберу како би се та непозната елиминисала.
Број решења система:
1. Систем је одређен – има тачно једно решење (праве се секу).
2. Систем је неодређен – има бесконачно много решења (праве се поклапају).
3. Систем је немогућ – нема решења (праве су паралелне).
1. Систем је одређен – има тачно једно решење (праве се секу).
2. Систем је неодређен – има бесконачно много решења (праве се поклапају).
3. Систем је немогућ – нема решења (праве су паралелне).
Методом супротних коефицијената решите систем:
\[ \begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} \]
Помножимо другу једначину са 2:
\( \begin{cases} x + 2y = 7 \\ 2x - 2y = 2 \end{cases} \)
Саберемо леве и десне стране једначина:
\( x + 2x + 2y - 2y = 7 + 2 \)
\( 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \)
Заменимо \( x = 3 \) у другу једначину (\( x - y = 1 \)):
\( 3 - y = 1 \Rightarrow y = 2 \)
Одговор: Решење је уређени пар \( (3, 2) \).
\( \begin{cases} x + 2y = 7 \\ 2x - 2y = 2 \end{cases} \)
Саберемо леве и десне стране једначина:
\( x + 2x + 2y - 2y = 7 + 2 \)
\( 3x = 9 \Rightarrow x = 3 \)
Заменимо \( x = 3 \) у другу једначину (\( x - y = 1 \)):
\( 3 - y = 1 \Rightarrow y = 2 \)
Одговор: Решење је уређени пар \( (3, 2) \).
Функција дефинисана са \( f(x) = ax + b \) назива се линеарна функција. График ове функције је права линија.
Нула функције је вредност \( x \) за коју је \( f(x) = 0 \).
\[ ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a} \quad (\text{за } a \neq 0) \]
Ток и знак функције (ако је \( a \neq 0 \)):
- Ако је \( a > 0 \): функција је растућа. Позитивна је за вредности веће од нуле функције, а негативна за мање.
- Ако је \( a < 0 \): функција је опадајућа. Позитивна је за вредности мање од нуле функције, а негативна за веће.
Функција апсолутне вредности \( f(x) = |x| \):
Дефинише се као \( |x| = x \) за \( x \ge 0 \), и \( |x| = -x \) за \( x < 0 \).
Дефинише се као \( |x| = x \) за \( x \ge 0 \), и \( |x| = -x \) за \( x < 0 \).
Одредите нулу функције \( f(x) = -2x + 6 \) и испитајте да ли је функција растућа или опадајућа.
Нула функције се добија решавањем једначине \( f(x) = 0 \):
\( -2x + 6 = 0 \Rightarrow -2x = -6 \Rightarrow x = 3 \).
Коефицијент \( a \) је \( -2 \). Пошто је \( -2 < 0 \), функција је опадајућа.
\( -2x + 6 = 0 \Rightarrow -2x = -6 \Rightarrow x = 3 \).
Коефицијент \( a \) је \( -2 \). Пошто је \( -2 < 0 \), функција је опадајућа.
Задаци за вежбање
Лаки задатак: Решите линеарну једначину \( 5x - 4 = 2x + 11 \).
Групишемо непознате на леву, а познате на десну страну:
\( 5x - 2x = 11 + 4 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = 5 \)
\( 5x - 2x = 11 + 4 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = 5 \)
Средњи задатак (Неједначине): Решите неједначину \( \frac{x - 3}{2} - \frac{2x - 1}{3} \ge 1 \).
Множимо целу неједначину са 6 (Најмањи заједнички садржалац за 2 и 3) да бисмо се ослободили разломака:
\( 3(x - 3) - 2(2x - 1) \ge 6 \)
\( 3x - 9 - 4x + 2 \ge 6 \)
\( -x - 7 \ge 6 \)
\( -x \ge 13 \)
Делимо са \(-1\) и окрећемо знак:
\( x \le -13 \)
Одговор: \( x \in (-\infty, -13] \).
\( 3(x - 3) - 2(2x - 1) \ge 6 \)
\( 3x - 9 - 4x + 2 \ge 6 \)
\( -x - 7 \ge 6 \)
\( -x \ge 13 \)
Делимо са \(-1\) и окрећемо знак:
\( x \le -13 \)
Одговор: \( x \in (-\infty, -13] \).
Средњи задатак (Системи): Решите систем једначина методом замене:
\[ \begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases} \]
Израз за \( y \) из прве једначине убацујемо у другу:
\( 3x + 2(2x - 1) = 12 \)
\( 3x + 4x - 2 = 12 \)
\( 7x = 14 \Rightarrow x = 2 \)
Сада рачунамо \( y \):
\( y = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3 \)
Одговор: Уређени пар \( (2, 3) \).
\( 3x + 2(2x - 1) = 12 \)
\( 3x + 4x - 2 = 12 \)
\( 7x = 14 \Rightarrow x = 2 \)
Сада рачунамо \( y \):
\( y = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3 \)
Одговор: Уређени пар \( (2, 3) \).
Тежи задатак (Апсолутна вредност): Решите једначину \( |x - 2| = 5 \).
На основу дефиниције апсолутне вредности, израз унутар ње може бити позитиван или негативан, па имамо два случаја:
Случај 1: \( x - 2 = 5 \Rightarrow x = 7 \)
Случај 2: \( x - 2 = -5 \Rightarrow x = -3 \)
Одговор: Једначина има два решења: \( x = 7 \) и \( x = -3 \).
Случај 1: \( x - 2 = 5 \Rightarrow x = 7 \)
Случај 2: \( x - 2 = -5 \Rightarrow x = -3 \)
Одговор: Једначина има два решења: \( x = 7 \) и \( x = -3 \).
