Најважније из лекције
Кључни идентитети: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) и \(\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). Помоћу ових формула можемо одредити све функције ако нам је позната само једна.
Правоугли троугао: Тригонометрија повезује странице и углове: наспрамна/хипотенуза = синус, налегла/хипотенуза = косинус, наспрамна/налегла = тангенс.
Примена: Ове функције су неопходне за индиректно мерење (када је немогуће измерити удаљеност метром), као што су рачунање висине објеката, растојања бродова или нагиба пута (\(\text{tg } \varphi\)).
Правоугли троугао: Тригонометрија повезује странице и углове: наспрамна/хипотенуза = синус, налегла/хипотенуза = косинус, наспрамна/налегла = тангенс.
Примена: Ове функције су неопходне за индиректно мерење (када је немогуће измерити удаљеност метром), као што су рачунање висине објеката, растојања бродова или нагиба пута (\(\text{tg } \varphi\)).
Тригонометријске функције оштрог угла зависе искључиво од величине тог угла, а не од величине правоуглог троугла. Посматрамо правоугли троугао са катетама \(a\) и \(b\), хипотенузом \(c\) и оштрим углом \(\alpha\) (наспрам катете \(a\)).
- Синус: \(\sin \alpha = \frac{a}{c}\) (наспрамна катета кроз хипотенузу)
- Косинус: \(\cos \alpha = \frac{b}{c}\) (налегла катета кроз хипотенузу)
- Тангенс: \(\text{tg } \alpha = \frac{a}{b}\) (наспрамна катета кроз налеглу катету)
- Котангенс: \(\text{ctg } \alpha = \frac{b}{a}\) (налегла катета кроз наспрамну катету)
Ако је хипотенуза \(c = 10 \text{ cm}\) и \(\sin \alpha = 0,6\), наспрамну катету рачунамо као:
\(\frac{a}{10} = 0,6 \Rightarrow a = 6 \text{ cm}\).
За сваки оштар угао \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)) важи:
- Вредности синуса и косинуса су увек између 0 и 1: \(0 < \sin \alpha < 1\) и \(0 < \cos \alpha < 1\).
- Вредности тангенса и котангенса могу бити било који позитивни бројеви: \(0 < \text{tg } \alpha < +\infty\) и \(0 < \text{ctg } \alpha < +\infty\).
Промена вредности: Како угао расте (од \(0^\circ\) ка \(90^\circ\)), вредности \(\sin \alpha\) и \(\text{tg } \alpha\) се повећавају, док се вредности \(\cos \alpha\) и \(\text{ctg } \alpha\) смањују.
Таблица вредности за карактеристичне углове:
| \(\alpha\) | \(\sin \alpha\) | \(\cos \alpha\) | \(\text{tg } \alpha\) | \(\text{ctg } \alpha\) |
|---|---|---|---|---|
| \(30^\circ\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
За сваки оштар угао \(\alpha\) важе следеће основне везе:
- \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) (Основни тригонометријски идентитет)
- \( \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
- \( \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
- \( \text{tg } \alpha \cdot \text{ctg } \alpha = 1 \)
Комплементарни углови: Ако су два оштра угла комплементарна (нпр. углови \(\alpha\) и \(90^\circ - \alpha\) у правоуглом троуглу), функција једног угла једнака је кофункцији другог:
- \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha\)
- \(\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha\)
- \(\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg } \alpha\)
- \(\text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg } \alpha\)
Тригонометрија се користи за "решавање троугла" (одређивање непознатих страница и углова), рачунање растојања до недоступних тачака и одређивање висина.
Површина троугла: Површина било ког троугла се може израчунати помоћу две странице и синуса угла између њих.
\[ P = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \]
Висина троугла: Висина \(h_c\) преко странице \(c\) и налегле углове \(\alpha\) и \(\beta\):
\[ h_c = \frac{c}{\text{ctg } \alpha + \text{ctg } \beta} \]
Нагиб пута: Изражава се у процентима и представља тангенс нагибног угла помножен са 100%. Нагиб = \(\text{tg } \varphi \cdot 100\%\).
Задаци за вежбање
Лак: Израчунај вредност израза: \( 2 \sin 30^\circ + \cos 60^\circ \).
Користећи таблицу вредности: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) и \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).
Заменом у израз добијамо: \[ 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5 \]
Заменом у израз добијамо: \[ 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5 \]
Средњи: Израчунај површину троугла ако су познате странице \(a = 8 \text{ cm}\), \(b = 5 \text{ cm}\) и угао између њих \(\gamma = 30^\circ\).
Користимо формулу за површину преко тригонометрије:
\[ P = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \]
\[ P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ \]
\[ P = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ cm}^2 \]
Средњи: Упрости израз: \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
Квадрирамо бином:
\[ \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha \]
Чланови \(+2 \sin \alpha \cos \alpha\) и \(-2 \sin \alpha \cos \alpha\) се потиру:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \]
На основу основног тригонометријског идентитета, ово је једнако 1.
Тежак: Брод се налази на мору. Са брода се види врх светионика који је висок \(8 \text{ m}\) под углом од \(7^\circ\) у односу на површину воде. Колико је брод удаљен од светионика? (Узети да је \(\text{tg } 7^\circ \approx 0,12\)).
Формира се правоугли троугао где је наспрамна катета висина светионика (\(8 \text{ m}\)), налегла катета је удаљеност \(x\), а угао је \(7^\circ\).
\[ \text{tg } 7^\circ = \frac{8}{x} \]
\[ 0,12 = \frac{8}{x} \Rightarrow x = \frac{8}{0,12} \]
\[ x \approx 66,67 \text{ m} \]
Брод је удаљен приближно \(66,67 \text{ m}\).
