5.7. Углови с Паралелним Крацима

Корак 1: Анализа својстава углова са паралелним крацима

Према правилима о конвексним угловима са паралелним крацима, за углове \(\alpha\) и \(\beta\) важе две могућности: 1. Углови су једнаки (\(\alpha = \beta\)) – ако су оба оштра или оба тупа. 2. Углови су суплементни (\(\alpha + \beta = 180^\circ\)) – ако је један угао оштар, а други туп.

Корак 2: Одређивање међусобног односа углова

У задатку је наведено да је угао \(\alpha\) мањи од \(\beta\) за \(20^\circ\). То можемо записати као: \[ \beta - \alpha = 20^\circ \] Пошто је разлика између њих различита од нуле, закључујемо да углови нису једнаки (\(\alpha \neq \beta\)). Дакле, они морају бити суплементни: \[ \alpha + \beta = 180^\circ \]

Корак 3: Постављање и решавање једначине

Из услова задатка знамо да је \(\alpha\) мањи од \(\beta\), па можемо изразити \(\beta\) преко \(\alpha\): \[ \beta = \alpha + 20^\circ \] Сада ову вредност заменимо у збир суплементних углова: \[ \alpha + (\alpha + 20^\circ) = 180^\circ \] \[ 2 \cdot \alpha + 20^\circ = 180^\circ \] \[ 2 \cdot \alpha = 180^\circ - 20^\circ \] \[ 2 \cdot \alpha = 160^\circ \] \[ \alpha = 160^\circ : 2 \] \[ \alpha = 80^\circ \]

Корак 4: Израчунавање угла \(\beta\)

Сада када имамо вредност за \(\alpha\), лако налазимо \(\beta\): \[ \beta = \alpha + 20^\circ \] \[ \beta = 80^\circ + 20^\circ \] \[ \beta = 100^\circ \]

Корак 5: Провера решења

Проверимо да ли је збир \(180^\circ\) и да ли је разлика \(20^\circ\): \[ 80^\circ + 100^\circ = 180^\circ \] \[ 100^\circ - 80^\circ = 20^\circ \] Оба услова су испуњена.

\(\alpha + \beta = 180^\circ\), \(\beta = \alpha + 20^\circ\) \(\alpha + \alpha + 20^\circ = 180^\circ\) \(2\alpha = 160^\circ \Rightarrow \alpha = 80^\circ\) \(\beta = 80^\circ + 20^\circ = 100^\circ\)